河南省许昌高级中学2023-2024学年高一下学期开学考试 数学 Word版含解析.docx

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2023-2024学年高一下学期开学检测试题数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知函数，则的定义域为（）A.B.C.D.2.若：，：，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知，则（）A.B.C.D.4.已知，则以下不等式不正确的是（）A.B.C.D.5.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：任意一个大于2的偶数都可以写成两个素数（质数）之和，也就是我们所谓的“1+1”问题．它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都取得了相当好的成绩．若将14拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为素数的概率为（）A.B.C.D. 6.已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.7.函数的零点所在区间是（）A.B.C.D.8.已知，若方程有四个不同的实数根，则的最小值是（）A.2B.3C.4D.二．多选题（共4小题，每题5分，共20分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）9.下列命题是真命题的是（）A.若，则B.若非零实数，，满足，，则C.若，则D.若，，则10.某学校为了调查学生一周在生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在内的学生有60人，则下列说法正确的是（）A.样本中支出在内的频率为0.03B.样本中支出不少于40元的人数为132C.n的值为200 D.若该校有2000名学生，则定有600人支出在内11.下列各对事件中，、是相互独立事件的有（　　）A.掷枚质地均匀的骰子一次，事件“出现的点数为奇数”，事件“出现的点数为偶数”B.袋中有个红球，个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件“第次摸到红球”，事件“第次摸到红球”C.分别抛掷枚相同的硬币，事件“第枚为正面”，事件“两枚结果相同”D.一枚硬币掷两次，事件“第一次为正面”，事件“第二次为反面”12.已知函数，则（）A.最小值为2B.，C.D.三．填空题（共4小题，每题5分，共20分.）13.若函数与互为反函数，则单调递减区间是___________．14.若函数满足，则在上的值域为______.15.已知，，且，则的最小值为______.16.已知函数值域为，则实数a的取值范围是______．四．解答题（共6小题，共70分）17设集合.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.18.2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨．我市某小区为了防止疫情在小区出现，严防外来人员进入小区，切实保障居民正常生活，设置“特殊值班岗”．现有包含甲、乙在内的4名志愿者参与该工作，每人安排一天，每4天一轮．在一轮的“特殊值班岗”安排中，求：（1）甲、乙两人相邻值班的概率；（2）甲或乙被安排在前2天值班的概率．19.已知. （1）若的解集A是集合的真子集，求实数a的取值范围；（2）若对，均有恒成立，求实数a的取值范围.20.设为数列的前项和，已知为等比数列，且．（1）求数列的通项公式；（2）已知，设，记为数列的前项和，证明：．21.文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，…，，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a的值；（2）求样本成绩的第75百分位数；（3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.22.已知函数f(x)＝.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)判断并用定义证明函数f(x)在其定义域上的单调性．(3)若对任意的t1，不等式f()＋f()<0恒成立，求k的取值范围． 2023-2024学年高一下学期开学检测试题数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知函数，则的定义域为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出函数的定义域，再求出复合函数定义域即得.【详解】函数中，，解得，即函数的定义域为，因此在中，，解得，所以的定义域为.故选：C2.若：，：，则是的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据子集与真子集的定义及充分必要条件的定义可判断结果.【详解】对于：因为，所以集合M中一定含有元素2，且元素4，5 至少有一个，则集合M可能为三种情况，所以是的充分不必要条件，故选：A.3.已知，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】对、化简后可得具体的值，对有.【详解】，故．故选：D.4.已知，则以下不等式不正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质逐项判断即得.【详解】∵，∴，故A正确；∵，∴，∴，即，故B正确；由可得，，∴，故C正确；因为，所以，，所以，即．故D错误.故选：D．5.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：任意一个大于2的偶数都可以写成两个素数（质数）之和，也就是我们所谓的“1+1”问题．它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都取得了相当好的成绩．若将14拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为素数的概率为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】写出所有的等式，计算基本事件的总数，再计算事件拆成的和式中，加数全部为素数所包含的基本事件，即可得到答案；【详解】，共有13个和式，其中加数全部为素数为，共3个基本事件，，故选：A6.已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出命题为真时实数的取值范围，即可求出命题为假时实数的取值范围.【详解】若“，”是真命题，即判别式，解得：，所以命题“，”是假命题，则实数的取值范围为：.故选：A.7.函数的零点所在区间是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用指数函数、幂函数的单调性判断的单调性，再应用零点存在性定理判断零点所在区间即可得解. 【详解】因为的定义域为，而在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，又，，所以的零点所在区间是.故选：C.8.已知，若方程有四个不同的实数根，则的最小值是（）A.2B.3C.4D.【答案】B【解析】【分析】结合图像可知，由此可推得，，再利用二次函数的单调性即可得到的范围.【详解】不妨设，因为方程的根的个数即为与的交点个数，由图象可得：若方程有四个不同的实数根，则，又因为，且，则，可得，又因为，即，可得，所以当时，取到最小值.故选：B. 【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法（1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解；（2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解．二．多选题（共4小题，每题5分，共20分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）9.下列命题是真命题的是（）A.若，则B.若非零实数，，满足，，则C.若，则D.若，，则【答案】BCD【解析】【分析】举反例可否定A；根据条件先判断c的符号，然后可判断B；根据对数函数单调性和真数范围，结合不等式性质可判断C；利用关系，由不等式性质可判断D.【详解】A选项：当时，显然，A错误；B选项：若非零实数，，满足，，则有，所以，B正确；C选项：若，则，所以，C正确；D选项：设，则，解得，因为，所以，又，所以，即，D正确.故选：BCD 10.某学校为了调查学生一周在生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在内的学生有60人，则下列说法正确的是（）A.样本中支出在内的频率为0.03B.样本中支出不少于40元的人数为132C.n的值为200D.若该校有2000名学生，则定有600人支出在内【答案】BC【解析】【分析】对于A，利用频率之和为求解即可；对于C，利用频数除以频率即可得解；对于B，利用频率乘以总数即可得解；对于D，利用统计的意义分析判断即可.【详解】样本中支出在内的频率为，故A错误；，故n的值为200，故C正确；样本中支出不少于40元的人数为，故B正确；若该校有2000名学生，则可能有人支出在内，故D错误.故选：BC.11.下列各对事件中，、是相互独立事件的有（　　）A.掷枚质地均匀的骰子一次，事件“出现的点数为奇数”，事件“出现的点数为偶数”B.袋中有个红球，个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件“第次摸到红球”，事件“第次摸到红球”C.分别抛掷枚相同的硬币，事件“第枚为正面”，事件“两枚结果相同”D.一枚硬币掷两次，事件“第一次为正面”，事件“第二次为反面”【答案】CD【解析】【分析】利用独立事件定义可判断AC选项；利用事件的关系可判断BD选项. 【详解】对于A选项，掷枚质地均匀的骰子一次，事件“出现的点数为奇数”，事件“出现的点数为偶数”，则事件“出现的点数为奇数且为偶数”，所以，，又因为，所以，，所以，、不相互独立，A不满足；对于B选项，袋中有个红球，个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件“第次摸到红球”，事件“第次摸到红球”，由题意可知，事件的发生影响事件的发生，故、不相互独立，B不满足；对于C选项，分别抛掷枚相同的硬币，事件“第枚为正面”，事件“两枚结果相同”，则事件“两枚硬币都正面向上”，则，又因为，，则，所以，、相互独立，C满足；对于D选项，一枚硬币掷两次，事件“第一次为正面”，事件“第二次为反面”，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此，、相互独立，D满足.故选：CD.12.已知函数，则（）A.的最小值为2B.，C.D.【答案】AC【解析】【分析】确定在上单调递减，在上单调递增，函数关于对称，计算最值得到A正确，，B错误，，C正确，，D错误，得到答案.【详解】，在上单调递减，在上单调递增，故在上单调递减，在上单调递增，，函数关于对称，对选项A：最小值为，正确； 对选项B：，错误；对选项C：，故，，正确；对选项D：，故，错误；故选：AC.三．填空题（共4小题，每题5分，共20分.）13.若函数与互为反函数，则的单调递减区间是___________．【答案】【解析】【分析】先求出函数的解析式，然后利用复合函数的单调性即可得解.【详解】函数与互为反函数，∴，，定义域为当时，单调递增，单调递增；当时，单调递减，单调递减；故答案为：．14.若函数满足，则在上的值域为______.【答案】【解析】【分析】先求出的解析式，即可求出在上的值域.【详解】解：，，又，在单调递减， 由，，函数的值域为.故答案为：.15.已知，，且，则的最小值为______.【答案】##【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】因为，，，所以，则，所以，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以.故答案为：.16.已知函数的值域为，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据题意，令，转化为 的值域取遍一切正实数，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.【详解】由函数，令，令，可得，要使得函数的值域为，则的值域能取遍一切正实数，当时，则满足，解得；当时，可得，符合题意；当时，则满足，此时函数的值域能取遍一切正实数，符合题意，综上可得，实数的取值范围为.故答案为：.四．解答题（共6小题，共70分）17.设集合.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），或（2）.【解析】【分析】（1）代入集合A，由并集和补集的定义求；（2）由，分和两种类型，列不等式求实数的取值范围.【小问1详解】当时，，而，所以，或.【小问2详解】因为， （i）当时，，解得，此时满足；（ii）当时，满足，即需满足或，解得或综上所述，实数的取值范围为.18.2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨．我市某小区为了防止疫情在小区出现，严防外来人员进入小区，切实保障居民正常生活，设置“特殊值班岗”．现有包含甲、乙在内的4名志愿者参与该工作，每人安排一天，每4天一轮．在一轮的“特殊值班岗”安排中，求：（1）甲、乙两人相邻值班的概率；（2）甲或乙被安排在前2天值班的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用列举法求解即可；（2）利用列举法求解即可.【小问1详解】由题意，设4名志愿者为甲，乙，丙，丁，4天一轮的值班安排所有可能的结果是：（甲，乙，丙，丁），（甲，乙，丁，丙），（甲，丙，乙，丁），（甲，丙，丁，乙），（甲，丁，乙，丙），（甲，丁，丙，乙），（乙，甲，丙，丁），（乙，甲丁，丙），（乙，丙，甲，丁），（乙，丙，丁，甲），（乙，丁，甲，丙），（乙，丁，丙，甲），（丙，甲，乙，丁），（丙，甲，丁，乙），（丙，乙，甲，丁），（丙，乙，丁，甲），（丙，丁，乙，甲），（丙，丁，甲，乙），（丁，甲，乙，丙），（丁，甲，丙，乙），（丁，乙，甲，丙），（丁，乙，丙，甲），（丁，丙，乙，甲），（丁，丙，甲，乙），共24个样本点设甲乙相邻为事件A，则事件A包含：（甲，乙，丙，丁），（甲，乙，丁，丙），（乙，甲，丙，丁），（乙，甲，丁，丙），（丙，甲，乙，丁），（丙，乙，甲，丁），（丙，丁，乙，甲），（丙，丁，甲，乙），（丁，甲，乙，丙），（丁，乙，甲，丙），（丁，丙，乙，甲），（丁，丙，甲，乙）， 共12个样本点，故【小问2详解】设甲或乙被安排在前两天值班的为事件B．则事件B包含：（甲，乙，丙，丁），（甲，乙，丁，丙），（甲，丙，乙，丁），（甲，丙，丁，乙），（甲，丁，乙，丙），（甲，丁，丙，乙），（乙，甲，丙，丁），（乙，甲，丁，丙），（乙，丙，甲，丁），（乙，丙，丁，甲），（乙，丁，甲，丙），（乙，丁，丙，甲），（丙，甲，乙，丁），（丙，甲，丁，乙），（丙，乙，甲，丁），（丙，乙，丁，甲），（丁，甲，乙，丙），（丁，甲，丙，乙），（丁，乙，甲，丙），（丁，乙，丙，甲），共20个样本点，故.19.已知.（1）若的解集A是集合的真子集，求实数a的取值范围；（2）若对，均有恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）不等式化为，再分，，讨论求解，再根据真子集的概念求解；（2）将对一切的实数，均有恒成立，转化为对一切的实数，恒成立，由求解.【小问1详解】解：由，可得，当时，不等式的解集为，因为集合A是集合的真子集，可得，∴；当时，不等式的解集为，，满足题意；当时，不等式的解集为， 因为集合A是集合的真子集，可得，∴，综上所述，实数a的取值范围是【小问2详解】对一切的实数，均有恒成立，即对一切的实数，恒成立，即对一切的实数，恒成立，即，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，故实数a的取值范围是.20.设为数列的前项和，已知为等比数列，且．（1）求数列的通项公式；（2）已知，设，记为数列的前项和，证明：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由，得，等比数列的首项为1公比为2，可得通项；（2）由与的关系，求出的通项，通过放缩法证明不等式.【小问1详解】为数列的前项和，， 则有，所以，等比数列的公比为2，又，所以；【小问2详解】证明：由（1）知，，当时，，所以，所以，则，因此．21.文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，…，，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a的值；（2）求样本成绩的第75百分位数；（3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差.【答案】（1）（2）84（3）， 【解析】【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1即可求解；（2）由频率分布直方图求第百分位数的计算公式即可求解；（3）根据平均数和方差计算公式即可求解.【小问1详解】解：∵每组小矩形的面积之和为1，∴，∴.【小问2详解】解：成绩落在内的频率为，落在内的频率为，设第75百分位数为m，由，得，故第75百分位数为84；【小问3详解】解：由图可知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，故.设成绩在中10人的分数分别为，，，…，；成绩在中20人的分数分别为，，，…，，则由题意可得，，所以，，所以，所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37.22.已知函数f(x)＝.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)判断并用定义证明函数f(x)在其定义域上的单调性． (3)若对任意的t1，不等式f()＋f()<0恒成立，求k的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据奇偶性的判定方法求解即可；（2）根据“取值、作差、变形、定号、结论”的步骤证明即可；（3）根据函数的单调性和奇偶性，将不等式转化为对任意t1恒成立求解，通过换元法并结合分离参数求出函数的最值后可得所求的范围．【详解】(1)∵2x＋1≠0，∴函数的定义域为R，关于原点对称．∵，∴函数为奇函数．（3）函数在定义域上为增函数．证明如下：设，且，则，∵y＝2x在上是增函数，且，∴，∴，∴，∴函数在定义域内是增函数．（3）∵，∴．∵函数是奇函数，∴．又函数在定义域内是增函数， ∴对任意1恒成立，∴对任意t1恒成立．令,，则，∵函数在上是增函数，∴，∴，∴实数的取值范围为．【点睛】（1）解答本题时注意函数奇偶性和单调性的定义的利用，解题时不要忽视了函数的定义域；（2）解答第三问的关键在于转化，但此时容易出现符号上的错误．解决恒成立问题的常用方法是分离参数法，即将参数分离后转化成求函数最值的问题处理，利用单调性求最值是常用的方法．