山东省烟台市莱州市第一中学2023-2024学年高一下学期开学考试 数学 Word版含解析.docx

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2023级高一收心考试数学试题一、单项选择题1.在四边形中，且，则四边形形状一定是A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形2.在中，，，则等于（）A.B.C.D.3.在中，若点满足，则()A.B.C.D.4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC（）A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形5.已知向量，若，则与的夹角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°6.已知函数为上的偶函数，且对任意，均有成立，若，，，则a，b，c的大小关系为（）A.B.C.D.7.已知非零向量满足，=．若，则实数t的值为A.4B.–4C.D.–8.定义行列式．若函数在上恰有3个零点，则m的取值范围是（） A.B.C.D.二、多项选择题9.若非零向量与是相反向量，则下列正确的是（）A.B.C.D.与方向相反10.设向量，，则下列结论中正确的是（）A.B.C.D.11.在中，下列式于与的值相等的是（）A.B.C.D.12.下列说法正确的是（）A.若，满足，则的最大值为；B.若，则函数最小值为C.若，满足，则的最小值为D.函数的最小值为三、填空题13.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且＝2，则的值是________.14.已知a，b，c分别为的内角A,B,C所对的边，且，则____________.15.已知锐角且满足，则______. 16.已知非零向量，.若与的夹角为，则__________.四、解答题17.如图所示平行四边形中，设向量，，又，，用，表示､､.18.（1）已知，，且//，求的坐标.（2）已知，求与垂直单位向量的坐标.19.在中，已知，，解这个三角形.20.已知函数在一个周期内的图象如图所示.（1）求函数的解析式.（2）求函数的单调递增区间.（3）当时，求的取值范围.21.已知函数为奇函数（1）求实数的值及函数的值域；（2）若不等式对任意都成立，求实数的取值范围. 22.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.（1）求角C的大小；（2）如果，，求c值. 2023级高一收心考试数学试题一、单项选择题1.在四边形中，且，则四边形的形状一定是A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形【答案】C【解析】【分析】根据向量相等可知对边平行且相等，四边形为平行四边形，根据模相等可知邻边相等，所以四边形为菱形.【详解】因为，所以,四边形是平行四边形又，所以,四边形是菱形，故选C.【点睛】本题主要考查了向量的相等与向量的模相等，属于容易题.2.在中，，，则等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量加法的三角形法则结合相反向量的定义可得结果.【详解】由已知可得，故.故选：D.3.在中，若点满足，则()A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】根据平面向量线性运算可求出结果.【详解】由，得，得，得.故选：D．4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC（）A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形【答案】C【解析】【分析】由余弦定理确定角的范围，从而判断出三角形形状．【详解】由得－cosC>0，所以cosC<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形.故选：C．5.已知向量，若，则与的夹角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C【解析】【分析】展开,可得,再利用夹角公式求解即可.【详解】由,得,故,∴．设与的夹角为,则．又,∴．故选：C【点睛】本题主要考查了向量的数量积与夹角的运算,属于基础题型.6.已知函数为上的偶函数，且对任意，均有 成立，若，，，则a，b，c的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先根据条件判断出函数是上的单调减函数，结合偶函数性质，可知，然后只需比较的大小关系即可.【详解】对任意，均有成立，故在上是单调减函数，又函数为上的偶函数，故，而，故，又，所以，则，即，故选：A.7.已知非零向量满足，=．若，则实数t的值为A4B.–4C.D.–【答案】B【解析】【详解】由，可设，又，所以所以，故选B． 8.定义行列式．若函数在上恰有3个零点，则m的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根据新定义和辅助角公式表示出，然后作出的图像，利用图像解决零点问题.【详解】由题意，，当时，，设，故有个零点等价于在有个根，令，作出，的图像如下：时，令，如图所示，可解得四个交点的横坐标为：，由题意，区间中只能恰好含有中这个值，故，解得.故选：B 二、多项选择题9.若非零向量与是相反向量，则下列正确的是（）A.B.C.D.与方向相反【答案】BCD【解析】【分析】根据相反向量的定义，即可判断选项.【详解】根据相反向量的定义可知，，两个向量模相等，即，且方向相反.故选：BCD10.设向量，，则下列结论中正确的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】利用平面向量的模长公式可判断A选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断B选项；利用平面向量共线的坐标表示可判断C选项；利用平面向量垂直的坐标表示可判断D选项.【详解】因为向量，，对于A选项，，，则，A错；对于B选项，，B对；对于C选项，因为，故、不共线，C错；对于D选项，，则，所以，，D对.故选：BD.11.在中，下列式于与的值相等的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】利用正弦定理可得结果.【详解】由正弦定理可得，设， 则，故满足条件为AC选项.故选：AC.12.下列说法正确的是（）A.若，满足，则的最大值为；B.若，则函数的最小值为C.若，满足，则的最小值为D.函数的最小值为【答案】CD【解析】【分析】，没有最大值，故错误；，函数，故错误；，的最小值为2，故正确；，，当且仅当时等号成立，故正确.【详解】，若，，，则，当且仅当时等号成立，没有最大值，故错误；，若，即，则函数，当且仅当等号成立，故错误；，若，，所以，所以，所以，（当且仅当时取等），所以的最小值为2.故正确；，，当且仅当时等号成立，故正确；故选：CD 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、填空题13.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且＝2，则的值是________.【答案】【解析】【分析】由于向量的数量积可以进行坐标运算，所以将几何问题转化为代数问题，建立以A为原点，AB所在直线为x轴的平面直角坐标系，分别写出A、B、E的坐标，再通过向量的坐标运算即可求出向量的数量积.【详解】解析　以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系.∵AB＝，BC＝2，∴A(0，0)，B(，0)，C(，2)，D(0，2)，∵点E在边CD上，且＝2，∴E.∴＝，＝，∴.14.已知a，b，c分别为的内角A,B,C所对的边，且，则____________. 【答案】【解析】【分析】由条件可得，可化为余弦定理，利用同角三角函数间关系求.【详解】由题意可知，，则，所以.【点睛】本题主要考查了利用余弦定理求三角形的角，同角三角函数间的关系，属于中档题.15.已知为锐角且满足，则______.【答案】【解析】【分析】利用辅助角公式以及三角函数的倍角公式进行转化求解即可.【详解】解：由，得，则，是锐角，.故答案为：.16.已知非零向量，.若与的夹角为，则__________.【答案】2【解析】【分析】先将等式，变形为的形式，两边平方后得到关于的方程，求解即可.【详解】由于，得：，两边平方得：，由于，且与的夹角为， 其中，得，得或（舍去，非零向量），故答案是：2.四、解答题17.如图所示平行四边形中，设向量，，又，，用，表示､､.【答案】，，【解析】【分析】根据向量加法､减法，及数乘的几何意义，及其运算，以及向量加法的平行四边形法则，即可表示出，，.【详解】解：∵，∴；又，；∴.18.（1）已知，，且//，求的坐标.（2）已知，求与垂直的单位向量的坐标.【答案】（1）或；（2）或【解析】【分析】（1）利用平面向量平行的坐标表示结合模的定义求解即可. （2）利用平面向量垂直的坐标表示结合模的定义求解即可.【详解】（1）设，由得，，由//得，，解得，，或，，则或，即的坐标是或.（2）设该单位向量为，显然，由题意得，，则，解得，或，，则的坐标是或.19.在中，已知，，解这个三角形.【答案】答案见解析【解析】【分析】根据正弦定理求得的值，可求出C，B，分类求解，结合两角和差的正弦公式以及正弦定理，即可求得b，即得答案.【详解】因为在中，，所以，则或；当时，，,则； 当时，，，则，所以或.20.已知函数在一个周期内的图象如图所示.（1）求函数的解析式.（2）求函数的单调递增区间.（3）当时，求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)利用三角函数图象与性质求解析式即可；(2)利用三角函数的单调性整体代换法求单调区间即可；(3)利用整体代换法结合三角函数的图象与性质求定区间值域即可；【小问1详解】由函数的图象知，，所以，解得； 由函数图象过点，得，则，因为，所以，所以函数的解析式为；【小问2详解】由函数的解析式，令；解得；所以的单调递增区间为【小问3详解】当时，，则，所以，则的取值范围是.21.已知函数为奇函数（1）求实数的值及函数的值域；（2）若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.【答案】（1），值域为（2）【解析】【分析】（1）先利用奇函数求出，分离常数项，可得函数的值域；（2）分离参数，利用换元法，结合基本不等式可得结果.【小问1详解】 函数为奇函数，定义域为，则，所以，经检验知符合题意；因为，则所以函数的值域为.【小问2详解】由题知：当恒成立；则；令，所以；又，当且仅当时等号成立，而，所以，则.22.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.（1）求角C的大小；（2）如果，，求c值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，得出，即可求出； （2）由数量积定义可得，再由余弦定理即可求出.【小问1详解】由得，由正弦定理可得，因为，所以，即，因为，所以.【小问2详解】因为，所以，所以，所以.