第5章 热点探究课3 数列中的高考热点问题 word版含答案

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1、第5章热点探究课3数列中的高考热点问题[命题解读]　数列在中学数学中既具有独立性，又具有较强的综合性，是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，从近五年全国卷高考试题来看，解答题第1题(全国卷T17)交替考查数列与解三角形，本专题的热点题型有：一是等差、等比数列的综合问题；二是数列的通项与求和；三是数列与函数、不等式的交汇，难度中等．热点1　等差、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题，关键是理清两种数列的项之间的关系，并注重方程思想的应用，等差(比)数列共涉及五个量a1，an，Sn，d(q)，n，“知三求二”．　已知{an}是等比数列，前n

2、项和为Sn(n∈N*)，且－＝，S6＝63.(1)求{an}的通项公式；(2)若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an＋1的等差中项，求数列{(－1)nb}的前2n项和．[对点训练1]　已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ>0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设a1>0，λ＝100.当n为何值时，数列的前n项和最大？热点2　数列的通项与求和　已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.(1)求{an}的通项公式；(2)求{b

3、n}的前n项和．[对点训练2]　数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*.(1)证明：数列是等差数列；(2)设bn＝3n·，求数列{bn}的前n项和Sn.热点3　数列与函数、不等式的交汇角度1　数列与函数的交汇　已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋2n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若点(bn，an)在函数y＝log2x的图象上，求数列{bn}的前n项和Tn.第4页角度2　数列与不等式的交汇　已知数列{an}满足2an＋1＝an＋2＋an(n∈N*)，且a3＋a7＝20，a2＋a5＝14.

4、(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn<.热点探究训练(三)　数列中的高考热点问题1．已知数列{an}是等比数列，a2＝4，a3＋2是a2和a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2log2an－1，求数列{anbn}的前n项和Tn.2．已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝2，求e＋e＋…＋e.3

5、．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1－，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．(1)求数列{bn}的通项公式；(2)证明：＋＋…＋<7.第4页第5章热点探究课3数列中的高考热点问题热点1　等差、等比数列的综合问题　[解]　(1)设数列{an}的公比为q.由已知，有－＝，解得q＝2或q＝－1.2分又由S6＝a1·＝63，知q≠－1，所以a1·＝63，得a1＝1.所以an＝2n－1.5分(2)由题bn＝(log2an＋log2an＋1)＝(log22n－1＋log22n)＝n－，即{bn}是首项为，公差为1的等差数列.8分设数列{(－1)nb}

6、的前n项和为Tn，则T2n＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b)＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n＝＝2n2.10分[对点训练1]　[解]　(1)取n＝1，得λa＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0.若a1＝0，则Sn＝0.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0，所以an＝0(n≥1).2分若a1≠0，则a1＝.当n≥2时，2an＝＋Sn,2an－1＝＋Sn－1，两式相减得2an－2an－1＝an，所以an＝2an－1(n≥2)，从而数列{an}是等比数列，所以an＝a1·2n－1＝·2n－1＝.综上，当a1＝0时

7、，an＝0；当a1≠0时，an＝.5分(2)当a1>0，且λ＝100时，令bn＝lg，由(1)知，bn＝lg＝2－nlg2.7分所以数列{bn}是单调递减的等差数列，公差为－lg2.b1>b2>…>b6＝lg＝lg>lg1＝0，当n≥7时，bn≤b7＝lg＝lg

8、，7分因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列.9分记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝－.12分[对点训练2]　[解]　(1)证明：得