线性代数课后习题答案

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1、第一章1.计算行列式．解该行列式的阶为，从第列开始，逐列乘以1加到前一列，按第一列展开得原式．2.计算下列行列式（1）；（2）；（3）；（4）．解（1）；（2）；（3）由习题1.4第5题结论，，当，；或直接用展开定理：原式；（4）由拉普拉斯定理可得：．3.用加边法计算行列式．解利用行列式展开定理，构造一个等值的行列式，其中第一列元素根据行列式的特点确定，即原式．4.证明：．证明用数学归纳法证明．因为，，所以当时命题成立．现在假设行列式阶小于时，结论成立，下证对阶行列式结论成立．将阶行列式按第1行展开后再展开，有故结论成立．5.设是互异的实数，证明：的充要条件是．证明行列式中元

2、素及其排列接近范德蒙行列式的形式，因此，构造四阶范德蒙行列式：一方面，利用范德蒙行列式结论有，另一方面，按第四列展开有，比较的系数得：又是互异的实数，故的充要条件是．6.证明：．证明左边7.当为何值时，方程组有唯一解？并用克莱姆法则求解．解因为方程组的系数行列式，所以当时，方程组有唯一解．又所以．8.设阶行列式的第行元素依次为，第行元素的余子式为全为，第行元素的代数余子式依次为，且行列式的值为1，求的值.解由题设；；，则有．据行列式展开定理及其推论有，即．解得．9．设，计算的值，其中是对应元素的代数余子式．解由行列式按行展开定理10.设行列式，求的值．解由题设依次将第行的（-

3、1）倍加到第行，得再将第一列分别加到其余各列，得．注：用同样的方法，可以求得行列式11．设为三角形的三边边长，证明：．证明将2，3，4列的1倍加到第一列，提取公因式，得将第1行的倍，加到利用2，3，4行，按第一列展开，得继续计算由三角形的性质，上式四个因式中有三项小于零，故．12．设多项式，用克莱姆法则证明：如果存在个互不相同的根，则．解设为互不相同的根，则，于是有该方程组的系数行列式（视为未知元）故该齐次线性方程组只有零解：，从而．第二章1．设若矩阵与可交换，求的值.解两矩阵相乘得，比较对应位置元素，有，所以．2．设均为n阶对称矩阵，证明：是阶对称矩阵.证明因为均为n阶对称

4、矩阵，即，所以从而是阶对称矩阵.3．设实矩阵，且，（为的代数余子式），求行列式．解因为，所以．由等式，得，两边取行列式得，即，所以或．又由，，故，从而．4．设为二阶方阵，为三阶方阵，且│A│＝＝，求．解因为│A│＝＝，所以，又，从而．5．设为4阶可逆方阵，且，求．解先将行列式中的矩阵化为同名矩阵，，再代入，可得．6．设，求．解因为，所以，故，；．7．已知，，，求解下列矩阵方程：（1）　;(2)　.解（1）由，得，所以，;(2)　因为，所以．8．设，三阶方阵满足关系式，求．解因为，所以．用左乘表达式的两边，得，从而．9．设矩阵且满足,求矩阵.解因为，所以．用右乘的两边，得，从而

5、．10．设为阶方阵，为的伴随矩阵，证明：(1)若，则；(2)．证明(1)设，若，则，当然有；若，则可以利用等式得到，考虑齐次线性方程组，由于，且，故方程组有非零解，从而有．(2)由（1）只要证明的情形．事实上，当时，由可得，两边同除以，则有结论成立．11．设为阶可逆矩阵，若的每行元素之和为，证明：的每行元素之和为.证明首先，由行列式的性质可知，否则，与为阶可逆矩阵矛盾．其次，利用向量将“的每行元素之和为”用矩阵的乘法表示为：再将上式两边同时左乘，并变形即的每行元素之和为.12．设阶矩阵，如果矩阵的秩为，求．解矩阵的行列式的值为，所以当时，矩阵的秩为；当时，易见矩阵的秩为1；当

6、时，所以秩，此时．13．设，若互不相等，求矩阵的秩．解因为，所以对作初等行变换，得由于互不相等，三阶子式，而四阶子式等于零，故矩阵的秩等于3．14．设为矩阵，为矩阵，且，试证：.证明因为为矩阵，为矩阵，所以矩阵是阶矩阵，又，利用矩阵秩的关系，有，故.15．阶矩阵满足时，称为幂等矩阵．设为幂等矩阵，证明：和是可逆矩阵，并求其逆．证明由得，即，故是可逆矩阵，且．同理，因为，所以是可逆矩阵，且．16．设为5阶方阵，且，求．解因为“当阶矩阵满足时，有”，所以由有，从而．17．设，求一个矩阵，使得的伴随矩阵．解由于矩阵的秩为1，且，所以矩阵的秩为2，从而．进一步有，即的每一列为的解，可

7、令由代数余子式，可取，同理，可取，这样可取．注意：本题答案不唯一，感兴趣的读者可以尝试再找一个．18．证明:任何一个阶矩阵都可以表示成为一个可逆矩阵于一个幂等矩阵的乘积.证明不妨设为阶矩阵，秩为，则存在阶可逆矩阵使得从而其中，显然是可逆矩阵，是幂等矩阵.19.设矩阵是满秩的，证明：直线与直线相交于一点．证明令直线与，则它们的方向向量分别为，．在两直线上分别取点，则所以两直线共面．又对矩阵作初等变变换，有因为的秩等于3，所以的秩等于3，即不平行，从而两直线相交于一点．第三章1.设向量组=，（1）求的一个极