分区域函数的二重积分法

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1、万方数据分区域函数的二重积分法余品能，崔周进(解放军理工大学应用数理系，江苏南京211101)摘要就绝对值函数、极大极小项函数及取整函数三种典型形式讨论分区域函数二重积分的一般方法-并借助实例给予说明．关键词绝对值函数；极大极小项函数；取整函数；分区域函效，二重积分中图分类号0172．2文献标识码A文章编号1008-1399(2011)02—0031-03分区域函数的二重积分，一方面作为一元分段函数定积分的推广，照样是借助积分可加性来处理相关命题；另一方面由于被积表达式形式的多样性，夹杂合适坐标系的选取，

2、及函数方程等，使分区域函数的二重积分具有相当的综合性，构成了高等数学重积分的一个重点及难点，在高校的期末考试、研究生入学考试及数学竞赛卷面上都能见到此类试题[卜引．文[4—5]讨论了普通分区域函数及绝对值函数的二重积分．本文将被积函数进行归类，分别就含绝对值函数、极大极小项函数及取整函数三种典型类型，讨论寻找划分积分区域的合适曲线，使此类命题的解题思路清晰化，并辅以具体实例，以阐明其一般解题思想方法．1有关绝对值函数的二重积分．此类积分的一般形式是阡Ilf(x，y)I曲．WD而计算方法一般是用曲线f(x，

3、y)；0将积分区域D划分为若干小区域，应用二重积分关于积分区域的可加性，在每个小区域上分别积分．例l设积分区域D={o，少l0≤z≤2，0≤Y≤2)．(1)试计算二重积分仃A=llIxy一1I曲；JJD(2)若函数f(x，y)在D上连续，且收稿日期：2010—09—29，修改日期：2011—02一09．作者简介；余品能(1963--)，男．江苏宜兴人。教授，主要从事快速算法与数值分析等研究．Emailjnengll@sahu．∞札崔周进(1982--)，男，江苏东台人．硪士，讲师，主要从事非线性微分方程等

4、研究．EmailIcuizhoujilI@126．∞札毯娶z，，)do--Q．几工订(训>曲_1’试证存在(车，矿∈D，使得l，(导，矿l≥万1．解(1)用曲线xy=1将积分区域D划分为D。和D：两部分(图1)，则由二重积分关于积分区域的可加性得A=皿(趔叫曲+Ⅱ(1一xy)do=￡吐c刭一，，dy+r“c·一删，dy+只时；c·一掣m=导+h2．所以圈1钢1及饲3积分区域图(2)根据题设有go(xy--1)f(z，y)do--毯于讯删)do--gDf(z。y)do--1．1一lgD(xy--1)f(z，

5、y)曲l≤几l鲫一1Ilf(x,y)I曲≤吼Jxy--1Jdo=MA，万方数据32高等教学研宛2011年3月其中M=maxlf(x，y)1．显然If(x，y)I也在D上连续．又由闭区域上连续函数的最值定理知，存在(e，矿∈D，使得I，(e，矿l=M，从而存在(e，矿∈D，使得I厂(e，7)I>1者·例2已知函数f(x，y)在区域、D=f(z，y)J0≤Y≤以z一7)上连续，且满足弛护万杀乖+拈舳，试计算二重积分A。』J。，(z，y)da．解由所给条件，有f(x,y卜币弄南+会，对上式两边同时在区域D上作二

6、重积分，则有A一几万杀雨曲+ⅡD知从而有肚矾币南如．用曲线≯+Y2；2将积分区域D划分为D。和D。两部分(图2)，则由二重积分关于积分区域的可加性，并选用极坐标系计算得肛矶南出+扎压与由=矿《三r岫+2Jr0斫齿+3q3矗3q。?乱一’2，2E吨刚寿娟一渤．YJ压孓。DJ2il／x2可2=2．—／圈2例2积分区域目2有关极大极小项函数的二重积分此类积分的一般形式为I

7、max{f(x，y)，g(z，y))曲，

8、Imin{f(x，y)，g(z，y))曲，而计算方法一般是用曲线f(x，y)=g(x，y)将积分区

9、域D划分为若干小区域，应用二重积分关于积分区域的可加性，在每个小区域上分别积分．例3[sJ计算二重积分卜JJ。max(xy，1)dxdy，其中积分区域D={(z，y)10≤z≤2，0≤Y≤2)．解用曲线xy==1将积分区域D划分为D。和D：两部分(图1)，则I=J】

10、D1xydxdy+n1dxdy-一‘几，xydxdy+几1dxdy一几，ldxdY=几1蛐+几∞一1)蛐=等+lIl2．例4计算二重积分k』J。I了一z2lmax(z，y)do，其中积分区域．D={(z，y)10≤z≤1，0≤Y≤1)．解用曲

11、线和直线Y2z2，Y=-r将区域D划分为D。，D。和D。三部分(图3)，则J=几y(y一)如+几：山一乒川皿z(Xz--y)如=J．1∞(y一≯)曲+J．1札的--xZ)dy+00jdz3jff《础2刊dy一譬．万方数据第14卷第2期余品能，崔周进：分区域函数的二重积分法333有关取整函数的二重积分此类积分的一般形式为阡Il[厂(z。y)]曲，●^JU其中[厂(z，y)]表示不超过f(x，y)的最大整数．其计算方法一般是转化为