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《高考一轮数学复习 66不等式的综合应用 理 同步练习（名师解析）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第6章第6节知能训练·提升考点一：不等式在函数中的应用1．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，当x＞2时，f(x)单调递增，如果x1＋x2＜4且(x1－2)(x2－2)＜0，则f(x1)＋f(x2)的值( )A．恒小于0 B．恒大于0C．可能为0D．可正可负解析：由x1＋x2＜4且(x1－2)(x2－2)＜0，不妨设x1＞2，x2＜2，则有2＜x1＜4－x2.因为当x＞2时f(x)单调递增，所以f(x1)＜f(4－x2)，即f(x1)－f(－x2＋4)＜0，即f(x1)＋f(x2)＜0.答案：A2．(·郑州调研)已知f(x
2、)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若m、n∈[－1,1]，m＋n≠0时，＞0.(1)用定义证明f(x)在[－1,1]上是增函数；(2)解不等式f(x＋)＜f()；(3)若f(x)≤t2－2at＋1对所有x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，求实数t的取值范围．解：(1)证明：任取x1＜x2，且x1，x2∈[－1,1]，则f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝·(x1－x2)．∵－1≤x1＜x2≤1，∴x1＋(－x2)≠0.由已知＞0.又x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在[－1,1]上为增函数．(2)
3、∵f(x)在[－1,1]上为增函数解得
4、x
5、－≤x＜－1，x∈R}．(3)由(1)可知f(x)在[－1,1]上为增函数，且f(1)＝1，故对x∈[－1,1]，恒有f(x)≤1，所以要使f(x)≤t2－2at＋1对所有x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，即要t2－2at＋1≥1成立，故t2－2at≥0.记g(a)＝t2－2at，对a∈[－1,1]，有g(a)≥0，只需g(a)在[－1,1]上的最小值大于等于0，g(－1)≥0，g(1)≥0，解得t≤－2或t＝0或t≥2.∴t的取值范围是{t
6、t≤－2或t＝0或t≥2}．考点二：不等式在数列中的应用3．
7、已知a，b，a＋b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0＜logm(ab)＜1，则m的取值范围是( )A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(0,8) D．(8，＋∞)解析：∵a，b，a＋b成等差数列∴2b＝2a＋b，b＝2a.①∵a，b，ab成等比数列，∴a≠0，b≠0，且b2＝a2b，b＝a2.②由①②知a2＝2a，a＝2，b＝4，ab＝8.∵0＜logm(ab)＝logm8＜1，∴m＞8.答案：D4．(·湖南联考)设正项数列{an}的前n项和为Sn，q为非零常数．已知对任意正整数n，m，当n＞m时，Sn－Sm＝qm·Sn－m总成立．(1)
8、求证：数列{an}是等比数列；(2)若正整数n，m，k成等差数列，求证：＋≥.证明：(1)因为对任意正整数n，m，当n＞m时，Sn－Sm＝qm·Sn－m总成立，所以当n≥2时，Sn－Sn－1＝qn－1S1，即an＝a1·qn－1，且a1也适合，又an＞0，故当n≥2时，＝q(非零常数)，即数列{an}是等比数列．(2)若q＝1，则Sn＝na1，Sm＝ma1，Sk＝ka1.所以＋＝＝≥＝＝＝.若q≠1，则Sn＝，Sm＝，Sk＝.所以＋≥2＝2.又因为(1－qn)(1－qk)＝1－(qn＋qk)＋qn＋k≤1－2＋qn＋k＝1－2qm＋q2m＝(1－qm)2
9、.所以＋≥2＝2≥2＝综上可知：若正整数n，m，k成等差数列，不等式＋≥总成立，当且仅当n＝m＝k时取“＝”．考点三：利用不等式求最值．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＋BC＝m(定值)，将图形沿AB的垂直平分线折叠，使点A落在点B上，求图形未被遮盖(阴影部分)的面积的最大值．解：设BC＝a，CD＝b，则AC＝CD＋AD＝CD＋BD＝b＋.∴m＝a＋b＋(定值)．∵a＋b≥2，≥，当且仅当a＝b时两式同时取“＝”，∴m≥(2＋)⇒ab≤m2.∵S△BCD＝ab，∴S△BCD的最大值为m2.此时a＝b＝m.6．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架．
10、三角形支架如右图，要求∠ACB＝60°，BC长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了广告牌稳固，要AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？解：设BC＝a(a＞1)，AB＝c，AC＝b，b－c＝.c2＝a2＋b2－2abcos60°，将c＝b－代入得(b－)2＝a2＋b2－ab，化简得b(a－1)＝a2－.∵a＞1，∴a－1＞0.b＝＝＝(a－1)＋＋2≥＋2.当且仅当a－1＝时，取“＝”，即a＝1＋时，b有最小值2＋.考点四：不等式在解析几何中的应用7．设直线l：y＝k(x＋1)(k≠0)与椭圆x2＋3y2＝a2(a＞
11、0)相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．(1)证明：a2
