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1、成都纺织高等专科学校教案16授课对象：授课日期年月日星期第节课题定积分的概念授课方式讲授、练习教学目的理解定积分的概念.掌握定积分的基本性质重点理解定积分的概念.掌握定积分的基本性质难点理解定积分的概念.掌握定积分的基本性质教具授课设计在生产实践和经济活动中，有很多问题需要利用积分学的方法来解决,例如平面图形的面积、企业的资本积累、收益与成本核算等等.本章主要介绍定积分和不定积分的概念、性质、积分方法以及积分学在经济分析中的一些应用.§5.1定积分的概念定积分是微积分学中最重要的概念之一.它是在生产实践中为了解决一系列有关“无限累加”问题而逐渐形成的，是各种“和式极限”问题的数学概括.5.1.
2、1实例分析引例1曲边梯形的面积.设函数在闭区间上连续且非负，由曲线及三条直线,,所围成的平面图形（如图5-1）称为曲边梯形,我们要求此曲边梯形的面积.图5-1图5-2分析曲边梯形与矩形的差异在于矩形的四边都是直的，而曲边梯形有三边是直的，一边为“曲”的，也就是说矩形的高“不变”，曲边梯形的高要“变”，为此我们可采用“近似逼近”的方法来解决求面积的问题.将曲边梯形分割成许多小的曲边梯形(如图5-2),每个小曲边梯形的面积都近似地等于对应小矩形的面积,则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值.当把区间无限细分下去,使每个小区间的长度都趋近于零时,所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形的面积.具体
3、步骤如下：(1)分割:任取分点，把区间分成个小区间,,每个小区间的长度记为,.相应地作直线将曲边梯形分割成个小曲边梯形，它们的面积分别记作：.(2)近似代替:在每个小区间上任取一点，以为底,为高的小矩形面积作为同底的小曲边梯形面积的近似值，即,.(3)求和:用个小矩形面积的和作为整个曲边梯形的面积的近似值,即.（4）取极限:使内的分点无限增加，并使中的最大值，这时和式的极限就是曲边梯形面积的精确值,即.引例2企业的总收益.设某公司的收入是随时间变化的，其收入可表示为一个连续的收入流.设为收入流在时刻的变化率，计算从时间到时间这段时间内的总收益.分析这是收入的变化率为非定值时的收益问题.由于其收
4、入流的变化率是随时间的变化而非均匀变化的，故不能用均匀变化率的收益公式来计算.若把时间段划分成若干个小时间段，在每一个小时间段内，用任一时刻收入流的变化率作为这一小时间段内收入流的变化率的近似值，也就是用均匀收入流的变化率近似代替非均匀收入流的变化率.则所有的时间段内的收益之和，就是整个时间段内的总收益的近似值.再通过取极限，即可得到总收益的精确值.具体步骤如下：⑴分割:任取分点,把时间段分成个小时间段,.每个小时间段的时长记为,.⑵近似代替:在每一小时间段内任取一点，以收入流在时刻处的变化率代替收入流的非均匀变化率，得到这段时间内的收益的近似值,即,.⑶求和:把每一小时间段内的收益的近似值加
5、起来，即得到总收益的近似值,即.⑷取极限:若分点的个数无限增多，且使，则和式的极限就是时间段内的总收益的精确值.即.上面两个实例中要计算的量分别具有不同的实际意义，但其解决问题的思想方法，计算方式，以及表述这些量的数学形式都是类似的.若不考虑其实际意义，则得到一个相同的数学模型——和式的极限.数学上把这类和式的极限叫做定积分.5.1.2定积分的概念定义5.1.1设函数在闭区间上连续，任取分点,将区间分割成个小区间，每个小区间的长度记作，，并记.任取点，作和式.如果不论对区间如何分割，也不论在小区间上如何取点，只要，和式的极限存在，则称在上可积,并称此极限为在区间上的定积分，记作.其中称为被积函
6、数，为被积表达式，为积分变量，为积分区间，而分别称为积分下限和积分上限.注意⑴定积分是一种特殊的和式极限，其值是一个实数.它的大小由被积函数和积分上、下限确定，而与积分变量的记号无关，即.⑵在定积分的定义中有.如果，则规定.特别地，当时，规定.关于定积分的存在性,我们有定理5.1.1若函数在上连续,或在上有界且只有有限个第一类间断点，则在上可积.根据定积分的概念，前面两个例子均可用定积分表示：1．曲边梯形面积为,()；2．企业在时间段内的总收益为.5.1.3定积分的几何意义设函数在闭区间上连续，对应的曲边梯形面积为.则其积分可分为以下三种情形：图5-3图5-41.若，则积分值等于对应曲边梯形的
7、面积，即(如图5-3)；2.若，则积分值等于对应曲边梯形面积的相反数，即(如图5-4)；3.若有正有负，则积分值等于曲线在轴上方围成图形与下方围成图形的面积的代数和，即(如图5-5).图5-5例1利用定积分的几何意义求定积分.解被积函数的图形是圆心在坐标原点，半径为1的圆的上半部分.于是所求定积分.5.1.4定积分的性质设在上均可积，则有性质1被积表达式中的常数因子可以提到积分号前，即.性质2两个
