数学竞赛试题隐含条件的挖掘

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1、数学竞赛试题隐含条件的挖掘什么是隐含条件呢?所谓隐含条件是指数学问题中那些若明若暗,含而不露的已知条件,或者从题设中不断挖掘并利用条件进行推理和变形而重新发现的条件。数学问题难度的标志之一是隐含条件的深度与广度.一般来说,隐含条件通常隐蔽在数学定义与性质中;或者隐蔽在函数的定义域与值域之中;或者隐含在已知条件与未知结论分别进行顺推与逆推的过程中;或者隐蔽在几何图形的特殊位置上;或者隐蔽在知识的相互联系之中。一顺向、逆向思维中隐含条件的挖掘1、用特殊化方法挖掘隐含条件所谓特殊化是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合中的一个

2、较小集合,或仅仅一个对象.简言之,特殊化是从一般命题过渡到特殊命题的一种思维方法.普遍化与特殊化正好相反而又是相互联系,不可分割的.例1证明：如果当自变量取任意整数值时，二次三项式总取整数值，那么总是整数，并且反过来也成立。6证明：观察已知条件，用特殊化方法令，代入二次三项式之后总取整数，推得为整数，挖掘出笫一个隐含条件，又将代入二次三项式之后，得也取整数，又加之为整数，推出为整数，又挖掘出笫二个隐含条件，复而将代入二次三项式之后，推出更是整数，综上所证，均为整数。反过来，由于均为整数，构造一元二次方程得出：是整数（为什么呢

3、？因为=0，）从而推出要构造的一元二次方程的都是整数，二次三项式总取整数值。“以人为本，以学为本，以学生的发展为本”是新课标、新教材的新理念。到高中为充分必要条件、构造法、严谨的逻辑推理打基础作好充分准备。2、用公式、定义中的正向思维与逆向思维挖掘隐含条件所谓公式的从左到右或者从右到左的思维分别叫做公式的正向思维与逆向思维。下面是定义的正向思维与逆向思维。例2已知矩形的对角线长为，而它的两邻边之长是满足，求实数，并求矩形的周长与面积？解：，用根定义的逆向思维构造一元二次方程用韦达定理是正向思维与逆向思维挖掘隐含条件，推出推出

4、矩形周长面积为。以上配方是逆向思维，求的过程又是逆向思维，求既有正向思维，又有逆向思维。二整数问题中隐含条件的挖掘1、用奇、偶数的分析挖掘隐含条件例63设m、n、p、q为非负整数,且对一切x>0,恒成立,则(=（）奇、偶数的分析:观察已知条件,用特殊化推理挖掘隐含条件,由于已知条件对一切x>0恒成立,取特殊值x=1,推理得出为奇数,推出p=0,m=1;再取特殊值x=2则有推出。若n>q,则(1)式的左边为奇数,而右边为偶数,矛盾。若n

5、1，(=(1.故是正确的选择支2、用质数、合数的分析挖掘隐含条件例4求满足等式的质数质数与合数的分析：因为求满足等式的质数，则推出至少有一个数是5不失一般性，设于是推出，而6只能分解为或者（-1）（-6）；（-2）（-3）；因为只能是质数可得只能是不妨设或者解前一方程组得4不是质数而是合数，排除，解后一组得故排除是正确的选择支。3、不等式正整数解中隐含条件的挖掘例5已知不等式的正整数解是1，2，3。求的取值范围。解：求出不等式的解很容易，可用列举法挖掘隐含条件有点难，当推出可得它是逆向思维，下面的问题是正向思维。例６求不等式

6、的正整数解。（答的正整数解是1，2。） 64、不等式组的正整数解中隐含条件的挖掘例6求不等式组：的所有整数解的和是多少？解：按常规思维去分母、去括号、移项、合并同类项与不等式两边同除以未知数的系数得满足此解的区间整数解只有-2，-1，0，1四个，其和是-2。若将此题构造其应用题，是很有趣味的，读者不妨试试看。三换元法中隐含条件的挖掘1、用0、1换元例7已知互为相反数，互为倒数，且，求的值。解：因为互为相反数，互为倒数，故，，又再代入的值可得求=。这是用代换；而用代换是挖掘隐含条件的关键，而这种代换的最终目的是创造零、1换元的

7、依据。2、用和、差换元所谓和、差换元是指将数学式中的和与差的代数式进行整体代换的方法。例8求下式当时整式值。解令：原式6=。代入得出3、用和、积换元所谓和、积换元是指将数学式中的积与和的代数式进行整体代换的方法。例9（04年沈阳市试题(21题)）是阅读下列解题过程:题目:已知方程两根求.解:,由一元二次方程的根与系数的关系,得.阅读后回答问题:上面的解题过程是否正确?若不正确,指出错在哪一步,并写出正确的解题过程.反驳学生解题过程的错误有三种:反驳论证;反驳论据与反驳论题.所谓反驳是根据已知的数学概念、真实判断来确定某一判断

8、的虚假性的思维形式,是驳斥谬论、揭露诡辩、修正错误的手段.上面的解题过程第一、二步的推理都正确,而这一步的变形,论据不足,这个公式只有在的条件下,才正确,而两根之和为-3,两根之积为1,可推出两根均小于零.这属于挖掘隐含条件不利，记住分式开方公式的条件是正确挖隐含条件的关键。故正确的解法既