矩阵的初等变换在向量空间中的应用

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1、矩阵的初等变换在向量空间中的应用摘要：向量贯穿了整个高等代数的学习。本文主要谈论了向量空间的一些核心问题，辅以不同的解法，通过对比，显示出矩阵的初等变换在向量空间中的重要作用，体现出用矩阵解向量空间中问题的优越性。关键词：矩阵的初等变换；线性相关；线性无关Abstract：Thevectorthroughoutthelearningofthehigheralgebra.Thisarticlemainlytalkingaboutsomeofthecoreproblemsofthevectorspace,combinedwithadiffe

2、rentsolution,bycontrast,showstheimportantroleofelementarytransformationmatricesinthevectorspace,reflectingwithmatrixsolutionforthevectorspacesuperiority.Keywords：Elementarytransformationmatrix;linearcorrelation;linearlyindependent1相关定理及问题的引出设定义1.1维向量：数域中n个数组成的有序数组定义1.2维向

3、量空间：以数域中的数作为分量的维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域上的维向量空间。维向量空间表面上看是一个非常陌生的概念，其实质只不过是由很多个维向量作为小单元，并且这些向量对于定义在它们上面的加法和数量乘法满足封闭性，即若，,具有这样性质的向量构成的向量组。第14页（共14页）故对于向量空间有关问题的讨论，应该从向量组出发。之所以向量空间让我们感觉变化多端，关键在于这些向量对于定义在它们上面的加法和数量乘法满足封闭性。向量空间的理论的核心问题是向量间的线性关系,其主要内容有向量的线性表示、向量组的线性相关性

4、、向量组的极大无关组、两个向量组的等价、向量空间的基与维数、一个基到另一个基的过渡矩阵和线性变换等。在向量空间中主要研究的是数域上的维空间,因此在中解决上述问题成为学习的关键。通常这些问题都是转化为线性方程组或齐次线性方程组来解决的。本文给出了多种解决这些问题的方法，更重要的是给出了利用矩阵的初等变换来解决的统一方法。在对比中，我们可以很容易的感觉到矩阵在解决向量空间有关问题的重要作用与优越性。定理1.1[1]一矩阵的秩是r的充分必要条件为矩阵中有一个r级子式不为零，同时所有r+1级子式全为零。定理1.2[1]级矩阵为可逆的充分必要条件

5、是它能表示成一些初等矩阵的乘积。定理1.3[2]设可以经过初等行变换化为,则与的列向量有完全相同的线性关系。即当且仅当，其中分别为A,B的列向量。定理1.4[1]一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一极大线性无关组。定理1.5[3]设是n维向量，是以为列向量的矩阵，将经过行的初等变换得到阶梯形，则阶梯“角”所对应的列向量构成一个最大无关组。若是数域P上一个矩阵，。不妨设第14页（共14页）的前r行r列构成的r阶子式不为零，则将分块为，那么仅对的行施行初等变换可以得到标准形，其中为以r个单位向量作列构成的单位矩阵。记，则由基本定理三

6、可知，则与具有相同的线性关系，而B的列向量的线性关系可以直接看出。2判断一个向量是否可由一组向量线性表出2.1定义法如果向量组，，…，(2)线性相关的充分必要条件是，，…，中的某一个向量是其余向量的线性组合2.2利用系数矩阵与增广矩阵的秩线性方程组有解判别定理：线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的的秩。若判断是否可以被一组向量，，…，线性表出，其中（，，…）（i=1、2、…）。设线性方程组为于是线性方程足可以改写成向量方程第14页（共14页）显然，若可以表示成向量组，，…，的线性组合的充要条件为线性方程组有解。又

7、由有解判别定理和充要条件的等价性可知，可以表示成向量组，，…，的线性组合的充要条件为特别，若当为零向量时，则恒成立，即始终存在零解，有，即可由向量组，，…，线性表出。2.3利用矩阵的初等行变换设，,,其中。若可由B的列向量线性表出，当且仅当可由B的前r个列向量线性表出，此时必有且，又由基本定理三知，。例1判断向量是否可以由向量线性表出，其中，，，，解法一：将作列，构成矩阵第14页（共14页）所以可以由线性表出，且解法二：设，分别写出系数矩阵和增广矩阵，利用系数矩阵和增广矩阵的秩来判断，矩阵的初等变换同解法一。例2判断向量可否由向量组，，

8、，线性表出。解：作矩阵，下面对A作初等行变换，若可以化最后一行的元素全部为零，则可由线性表出。具体思想见例3。即可由线性表出。第14页（共14页）3.判断中向量组的线性相关性3.1定义法对于向量组称为线性相