三重积分的概念化三重积分为累次积分三重积分换元法

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1、三重积分的概念化三重积分为累次积分三重积分换元法§5三重积分6/11/20211问题的提出设空间立体V的密度函数为f(x,y,z)求立体V的质量M为了求V的质量，仍采用：分割、近似代替、求和、取极限四个步骤.首先把V分成n个小块V1,V2,...,Vn,Vi的体积记为一、三重积分的概念6/11/20212其次在每个小块Vi上任取一点则Vi的质量然后对每个小块Vi的质量求和：最后，取极限其中6/11/20213定义1设f(x,y,z)为定义在三维空间可求体积区域V1,V2,...,Vn,Vi的体积记为的有界

2、区域V上的有界函数,把V任意地分成n个小记在每个小块Vi上任取一点若极限存在，则称f(x,y,z)在V上可积，并称此极限为f(x,y,z)在V上的三重积分，记为或6/11/20214三重积分具有与二重积分相似可积条件和有关的性质.例如V的体积6/11/20215设f(x,y,z)在长方体上连续，则二、化三重积分为累次积分6/11/20216设则6/11/20217其中V为三个坐标例.计算所围成的闭区域.解面及平面6/11/20218例1计算其中V为由平面x=1,x=2,z=0y=x,z=y所围的区域.解6

3、/11/20219若V可以表示为：则三重积分可采用先在区域Dz上计算二重积分，再计算一个定积分的方法来计算6/11/202110例.计算解:其中V是椭球体6/11/202111例3计算其中V是椭球体解6/11/202112三、三重积分换元法6/11/2021136/11/2021141、柱面坐标变换坐标面分别为圆柱面半平面垂直于轴z的平面6/11/2021156/11/2021166/11/202117其中V为由例.计算解:作柱面坐标变换及平面柱面所围成半圆柱体.6/11/202118坐标面分别为球面半平

4、面锥面2.球坐标变换6/11/2021196/11/202120例.计算解所围立体.其中V为锥面与球面在球面坐标系下6/11/202121例.计算解所围立体.其中V为锥面与平面6/11/202122解6/11/202123解6/11/202124若平面区域D关于x轴对称，则下列积分的值为零若平面区域D关于y轴对称，则下列积分的值为零例如，若D是以原点为圆心的圆，则进一步，对于变量的奇、偶函数，可得到与定积分类似的性质.6/11/202125若空间区域V关于xy平面对称，则有：若空间区域V关于xz平面对称，

5、则有：若空间区域V关于yz平面对称，则有：例如，若V是以原点为球心的球体，则6/11/202126立体体积曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为占有空间有界域V的立体的体积为6/11/202127例4求由圆锥体和球体所确定的立体体积，其中解立体的体积为6/11/202128例5求其中V为由与所确定的区域.解作广义球坐标变换于是6/11/202129