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1、二、三重积分的计算一、三重积分的概念§21.5三重积分一、三重积分的概念类似二重积分解决问题的思想,采用引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀的物质,求分布在内的物质的可得“分割,近似,求和,精确取极限”解决方法:质量M.密度函数为设f(xyz)是三维空间可求体积的有界闭区域上的有界函数。用任意曲面网T将分割成n个小闭区域v1v2vn，其中vi表示第i个小闭区域的体积在每个小闭区域vi上任取一点(iii)作积分和一、三重积分的定义如果
2、
3、T
4、
5、=max{vi的直径}趋于零时上述积分和的极限总存在则称此极限为函数f
6、(xyz)在闭区域上的三重积分，称为体积元素,在直角坐标系下常写作三重积分的性质类似于二重积分1.连续函数必可积。2.有界函数f(x.y.z)的不连续点集中在体积为0的曲面上。3.可积必有界。二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)方法3.三次积分法方法1.投影法(“先一后二”)该物体的质量为细长柱体微元的质量为线密度方法1.投影法(“先一后二”)该物体的质量为细长柱体微元的质量为线密度方法1.投影法(“先一后二”)该物体的质量为细长柱体微元的质量为线密度方法1.投影法(“先一后二”)该物体的
7、质量为细长柱体微元的质量为记作线密度（化成一个定积分和一个二重积分）方法2.截面法(“先二后一”)为底,dz为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度方法2.截面法(“先二后一”)为底,dz为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度方法2.截面法(“先二后一”)为底,dz为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度方法2.截面法(“先二后一”)为底,dz为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度方法2.截面法(“先二后一”)为底,dz为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度=△方法２特别适用于，当被积函数为ｚ的一元函数时，而截面的图形非常清楚且面积易知(记为S(z))的情况
8、。投影法方法3.三次积分法设区域利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:小结:三重积分的计算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”方法3.“三次积分”具体计算时应根据三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择.特别的：对称性的应用若f(x,y,z)为关于x(或y,z)的连续奇函数,且Ω关于yoz面(或xoz面,xoy面)对称则=0(A)(B)(C)(D)又如：1x+y=1yozx1z=xy.例1化三重积分为三次积分z=01x+y=1ozx1yz=xy.例1化三重积分为三次积分11z=0ozxx+y=1y。。z=xy.例1化三重积
9、分为三次积分Dxy:z=00yx11。。Dxy双曲抛物面例1化三重积分为三次积分z=0y=0x=00yx：平面x=0,y=0,z=0，x+2y+z=1所围成的区域先画图x0zy11DxyDxy:x=0,y=0,x+2y=1围成z=01...例2.计算三重积分x+2y+z=1DxyI=Dxy:z=0440yx。。Dxy例3.y14x+y=4x=0xzo.例3.y14x+y=4xzo1.例3.4x+y=4y=0xyz.D..o1例3.Dz..bc.=.例4计算x0yzD0a.z例5.计算三重积分解:(椭圆的面积)则Ω如图例6.设计算解:利用对称性,原式=奇函数被
10、积函数关于z的奇函数,且积分域恰关于xoy面对称,所以原式=0.事实上,利用投影法2.利用柱坐标计算三重积分就称为点M的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面如图所示,在柱面坐标系中体积元素为因此其中适用范围:1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.其中为由例7.计算三重积分所围解:在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.0xzy1Dxy.Dxy:z=1锥面化为:1.用哪种坐标？柱面坐标例8...3.利用球坐标计算三重积分0xzyM(r,,)rNyxz球面坐标直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别
11、为球面半平面锥面SrMyzx0r=常数:=常数:球面S动点M(r,,)球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面Cr=常数:=常数:S球面S半平面P动点M(r,,)Myzx0P=常数:锥面C.3.利用球坐标计算三重积分直角坐标与球面坐标的关系如图所示,在球面坐标系中体积元素为因此有其中适用范围:1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.例8.计算三重积分解:在球面坐标系下所围立体.其中与球面例9求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积解该立体所占区域可表示为0r2acos于是所求立
12、体的体积为
