直线与椭圆的位置关系

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1、一、选择题1．已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于(　　)A.B.C.D.[答案]　A[解析]　设椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距分别为a、b、c，则由条件知，b＝6，a＋c＝9或a－c＝9，又b2＝a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝36，故，∴，∴e＝＝.3．设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为(　　)A.B.C．2－D.－1[答案]　D[解析]　设椭圆方程＋＝1(a>b>0)，当x＝c时，y2＝

2、b2＝，∴P，由条件知，＝2c，∴a2－c2－2ac＝0，∴e2＋2e－1＝0，∵0b>0)的左焦点、右顶点，B(0，b)满足·＝0，则椭圆的离心率等于(　　)A.B.C.D.[答案]　B[解析]　∵＝(c，b)，＝(－a，b)，·＝0，∴－ac＋b2＝0，∵b2＝a2－c2，∴a2－ac－c2＝0，∴e2＋e－1＝0，∵e>0，∴e＝.8．F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点，P是椭圆上任一点，过一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，则垂足Q的轨迹为(

3、　　)A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线[答案]　A[解析]　∵PQ平分∠F1PA，且PQ⊥AF1，∴Q为AF1的中点，且

4、PF1

5、＝

6、PA

7、，∴

8、OQ

9、＝

10、AF2

11、＝(

12、PA

13、＋

14、PF2

15、)＝a，∴Q点轨迹是以O为圆心，a为半径的圆．10．从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b2,4b2]，则这一椭圆的离心率e的取值范围是(　　)A.B.C.D.[答案]　A[解析]　设椭圆方程为＋＝1　(a>b>0)，矩形在第一象限的顶点坐标为(x，y)，则矩形面积为S＝4xy＝4x＝≤·＝2

16、ab.当且仅当x2＝a2－x2，即x＝a时取等号．依题意3b2≤2ab≤4b2，∴3b≤2a≤4b，∴(a2－c2)≤a2≤4(a2－c2)，∴a2≤c2≤a2.即≤e2≤，∴≤e≤.13．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2c.以点O为圆心，a为半径作圆M.若过点P作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为________．[答案]　[解析]　设切点为Q、B，如图所示．切线QP、PB互相垂直，又半径OQ垂直于QP，所以△OPQ为等腰直角三角形，可得a＝，∴e＝＝.14．若右顶点为A的椭圆＋＝1

17、(a>b>0)上存在点P(x，y)，使得·＝0，则椭圆离心率的范围是________．[答案]　，∵0