向量代数与空间解析几何

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1、第五章向量代数与空间解析几何15.1向量及其运算15.1.1向量的概念15.1.2向量的线性运算25.1.3向量的数量积（点积、内积）55.1.5向量的混合积85.2点的坐标与向量的坐标85.2.1控件直角坐标系85.2.2向量运算的坐标表示115.3空间的平面与直线175.3.1平面175.2.3空间直线195.3.3点、平面、直线的位置关系215.4曲面与曲线265.4.1曲面、曲线的方程26第五章向量代数与空间解析几何5.1向量及其运算5.1.1向量的概念即有大小又有方向的量，称为向量（或矢量）。在数学上，往往以有向线段表示向量，其方向表示向量的方向，其长B度表示向量的

2、大小。以为起点，为终点的有向线段所表示的向量记作（图5－1）。有时也用一个黑体字来表示向量，例如a、r、v、FA或等等。图5－1向量的大小称为向量的模。向量、a、的模依次记作、

3、a

4、、。在实际问题中，有些向量与其起点有关（例如质点运动的速度，与该质点的位置有关，力与力的作用点有关），有些向量与其起点无关。由于一切向量的共性是大小和方向，所以在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称为自由向量（简称向量）,即只考虑向量的大小和方向，而不论他的起点在那。如果两个向量和大小相同方向一致，就说两个向量相等，记作。这就是说，经过平行移动后能完全重合的向量是相等的。模等于1的向量叫做单位向

5、量。模等于零的向量叫做零向量，记作或。零向量的起点与终点重合，它的方向是任意的。与向量模相等而方向相反的向量称为的负向量，记做－。37若将向量、平移，使它们的起点重合，则表示它们的有向线段的夹角称为向量和的夹角（见图5-2）,记做两个非零向量如果它们的方向相同或者方向相反，就称这两个向量图5－2平行。向量与平行，记作，零向量平行于任意向量。当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共起点应在一条直线上，称两向量共线。若与的夹角为，则称与垂直或正交，记做。类似还有向量共面的概念。设有（）个向量，当把它们的起点放在同一点时，如果个终点和公共起点在一个平面上，就称这个向量共面

6、。5.1.2向量的线性运算1．向量的加减法向量的加法运算规定如下：设有两个向量与，任取一点，作，再以为起点，作，连接（图5－3），那么向量称为向量与的和，记作＋，即图5－3图5－4.此方法称为三角形法则。向量的平行四边形法则：当向量与不平行时，作，，以为边作一平行四边形，连接对角线(图5－4)，显然向量即等于向量与的和+向量加法复合下列运算规律：（1）交换率+=+（2）结合率(a+b)+c=a+(b+c).由图5－4易得交换率a+b=+==cb+a=+==c37图5－5图5－6由图5－5易证结合率，由加法的交换率和结合率，n个向量相加可以写成，由三角形法则，可得n个向量相加的

7、法则如下：使前一向量的终点作为次一向量的起点，相继作向量，再以第一向量的起点为起点，最后一向量的终点为终点作一向量，这一向量即为所求之和。我们规定两个向量b与a的差b-a=b+(-a).即把向量-a加到b上，便得a与b的差b-a(图5－7(a)).特别地，当b=a时，有a-a=a+(-a)=0.图5－7（a）图5－7（b）显然，任给向量及点，有＝＋＝－因此，若把向量a与b移到同一点O,则从a终点A向b的终点B所引向量便是向量a与b的差b-a(图5-7(b)).由三角形两边之和大于第三边的原理，有

8、a+b

9、≤

10、a

11、+

12、b

13、及

14、a－b

15、≤

16、a

17、+

18、b

19、其中等号在a与b同向或反向时

20、成立。2．向量与数的乘法向量a与实数的乘积记作a规定a是一个向量，它的模

21、a

22、=

23、

24、

25、a

26、,它的方向当>0时与a相同，当<0时与a相反，当＝0时，

27、a

28、=0,即a为零向量，这时它的方向可以是任意的。特别地，当时，有1a＝a，（－1）a＝－a.向量与数的乘积复合下列运算规律：（1）结合率aaa；（2）分配率a＝a+a；a＋b＝a+b.37例1在平行四边形中，设＝a，＝b。试用a和b表示向量、、和，这里是平行四边形对角线的交点（图5－8）解由于平行四边形的对角线互相平行，所以a＋b＝＝2即－（a＋b）＝2于是＝（a＋b）。因为＝－，所以（a＋b）.图5－8又因－a＋b＝＝2，所以

29、＝（b－a）.由于＝－，＝（a－b）.设表示与非零向量a同方向的单位向量，则

30、a

31、与同向，即

32、a

33、与a同向，因此，a＝

34、a

35、。我们规定，当时，，则上式可写为。即向量除以它的模为与原向量的单位向量。命题1设向量，那么，向量b平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数，使。证：条件的充分性是显然的，下面证必要性设，设，当b与a同向时取正值，当b与a反向时取负值，即与b同向，且，故再证数的唯一性。设，又设，两式想减，便得，即.因，故，即.命题2如向量、b、c共面，而、b部共线，则存在实数和，使得c=a+b.证明