概率论概率论习题解答(第7章)

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1、习题七（A）三、解答题1.设总体服从几何分布，分布律为，()求的矩估计量．解：因为，所以X的一阶矩用样本的一阶A1=代替总体X的一阶矩E(X)得到所以的矩估计量为2.求均匀分布中参数的矩估计量．解：设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，总体X的一阶、二阶矩分别为m2=E(X2)=D(X)+[E(X)]2=用样本的一阶、二阶矩A1和A2分别代替总体的一阶、二阶矩m1和m2，得到解得的矩估计量为    130    3.设总体的概率密度为，是来自的简单随机样本，求参数的矩估计量．解：总体X的一阶为用样本的一阶A1=代替总体X的一阶

2、矩E(X)得到4.设总体的概率密度为，其中是未知参数，是来自的简单随机样本，求和的矩估计量．解：总体X的一阶为总体X的二阶为    130    用样本的一阶、二阶矩A1和A2分别代替总体的一阶、二阶矩m1和m2，得到解得和的矩估计量为，.5.设，m已知，未知，是来自的简单随机样本，求的最大似然估计量．解：由于X的分布律为基于样本观测值x1，x2，…，xn的似然函数为解得    130    的最大似然估计值为的最大似然估计量为6.设总体的概率密度为，今从X中抽取10个个体，得数据如下:1050110010801200130012

3、501340106011501150试用最大似然估计法估计．解：设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，基于样本观测值x1，x2，…，xn的似然函数为当时，，令，解得．考虑到所以，θ的最大似然估计值为将数据代入计算，θ的最大似然估计量为0.000858    130    7.设某电子元件的使用寿命的概率密度为为未知参数，是的一组样本观测值，求的最大似然估计值．解：设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，基于样本观测值x1，x2，…，xn的似然函数为容易看出θ越大L(q)越大，在约束下，即为θ最大似然估计值。8.设是取自总体N

4、(m，1)的一个样本，试证下面三个估计量均为m的无偏估计量，并确定最有效的一个．，，证明：因为独立均服从N(m，1)，且.所以，，均为m的无偏估计量。又因为所以最有效。    130    9.设总体X的数学期望为，是来自的简单随机样本．是任意常数,证明是m的无偏估计量．证明：因为Xi的数学期望均为，所以故是m的无偏估计量．10.设总体是来自X的一个样本．(1)试确定常数c，使为s2的无偏估计;(2)试确定常数c，使为m2的无偏估计．解：（1）因为所以当时，为s2的无偏估计。（2）因为所以当时，为s2的无偏估计。11.设某种清漆的

5、9个样品，其干燥时间（以小时计）分别为    130    6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0设干燥时间总体服从N(m，s2)；在下面两种情况下，求m的置信水平为0.95的置信区间．(1)由以往的经验知s=0.6(小时);(2)s未知．解：（1）由于s=0.6，求m的置信区间由公式计算，其中n=9，a=0.05，1.96，，代入计算得m的置信水平为0.95的置信区间为（5.608，6.392）.（2）由于s未知，求m的置信区间由公式计算，其中n=9，a=0.05，=2.306，，，代入计算得m的

6、置信水平为0.95的置信区间为（5.558，6.442）12.某机器生产圆筒状的金属品，抽出9个样品，测得其直径分别为1.01，0.97，1.03，1.04，0.99，0.98，0.99，1.01，1.03公分，求此机器所生产的产品，平均直径的置信水平为99%的置信区间．假设产品直径近似服从正态分布．解：设X~N(m,s2),由于s2未知，m的置信区间为，其中n=9，a=0.01，，，，代入计算得m的置信水平为99%的置信区间为（0.978，1.033）.13.某灯泡厂从当天生产的灯泡中随机抽取9只进行寿命测试，取得数据如下（单位

7、：小时）：1050，1100，1080，1120，1250，1040，1130，1300，1200．设灯泡寿命服从正态分布，试求当天生产的全部灯泡的平均寿命的置信水平为95%的置信区间．解：设X~N(m,s2),由于s未知，m的置信区间为，其中n=9，a=0.05，=2.306，，    130    代入计算得m的置信水平为95%的置信区间为（1071.78，1210.45）.14.假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布，现随机抽取此种香烟8支为一样本，测得其尼古丁平均含量为18.6毫克，样本标准差s=2.4毫克，试求此种香烟尼古

8、丁含量方差的置信水平为0.99的置信区间．解：设X~N(m,s2),由于m未知，s2的置信区间为其中n=8，a=0.01，，s=2.4，代入计算得m的置信水平为95%的置信区间为（1.99，40.76）.15.从某汽车电池制造厂生产的电池中随机抽取