线性代数.........

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1、题号一二三四五总分得分得分一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、设，为n阶方阵，满足等式，则必有（C）(A)或;(B)；（C）或;(D)。2、和均为阶矩阵，且，则必有（D）(A)；(B)；（C）.(D)。3、设为矩阵，齐次方程组仅有零解的充要条件是（A）(A)的列向量线性无关；(B)的列向量线性相关；（C）的行向量线性无关；(D)的行向量线性相关.4、阶矩阵为奇异矩阵的充要条件是（A）(A)的秩小于；(B)；(C)的特征值都等于零；(D)的特征值都不等于零；得分二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）5、若

2、4阶矩阵的行列式，是A的伴随矩阵，则=。6、为阶矩阵，且，则。7、已知方程组无解，则。8、二次型是正定的，则的取值范围是。得分三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）9、计算行列式10、计算阶行列式6得分四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。写出证明过程）11、若向量组线性相关，向量组线性无关。证明：(1)能有线性表出；(2)不能由线性表出。12、设是阶矩方阵，是阶单位矩阵，可逆，且。证明（1）；（2）。得分五、解答题（本题共3小题，每小题12分，满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤）13、设，求一个正交矩阵使得为对角矩阵。14、已知方程组与方程组有公

3、共解。求的值。15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知，，是它的三个解向量，且，求该方程组的通解。解答和评分标准一、选择题1、C；2、D；3、A；4、A。二、填空题5、-125;6、；7、-1；8、。三、计算题9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：6第二列减第一列，第四列减第三列得：（4分）按第一行展开得按第三列展开得。（4分）10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子，再通过行列式的变换化为上三角形行列式（4分）（4分）四、证明题11、证明：(1)、因为线性无关，所以线性无关。，又线性相关，故能由线性表出。(4分)6，（2）、（反正法）若不，则能由线

4、性表出，不妨设。由（1）知，能由线性表出，不妨设。所以，这表明线性相关，矛盾。(4分)12、证明（1）（4分）（2）由（1）得：，代入上式得（4分）五、解答题13、解：（1）由得的特征值为，，。（4分）（2）的特征向量为，的特征向量为，的特征向量为。（3分）6（3）因为特征值不相等，则正交。（2分）（4）将单位化得，，（2分）（5）取（6）（1分）14、解：该非齐次线性方程组对应的齐次方程组为因，则齐次线性方程组的基础解系有1个非零解构成，即任何一个非零解都是它的基础解系。（5分）另一方面，记向量，则直接计算得，就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知，原方程组的

5、通解为，。（7分）15、解：将①与②联立得非齐次线性方程组:③若此非齐次线性方程组有解,则①与②有公共解,且③的解即为所求全部公共解.对③的增广矩阵作初等行变换得:6.（4分）1°当时，有，方程组③有解,即①与②有公共解,其全部公共解即为③的通解，此时，则方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为:,所以①与②的全部公共解为，k为任意常数.（4分）2°当时，有，方程组③有唯一解,此时故方程组③的解为:,即①与②有唯一公共解.（4分6