矩阵的特征值与特征向量

《矩阵的特征值与特征向量》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

第四章矩阵的特征值矩阵的特征值、特征向量和相似标准形的理论是矩阵理论的重要组成部分.它们不仅在数学的各分支，如微分方程、差分方程中有重要应用，而且在其他科学技术领域和数量经济分析等各领域也有广泛的应用.如物理、力学和工程技术中的许多问在数学上都归结为求矩阵的特征值和特征向量的问题1 引例矩阵与向量的乘法设4.1特征值和特征向量是原像的倍数.二元实向量1，2的像A1，A23与A3就不具有这个性质.2 一、矩阵的特征值与特征向量的概念定义4.1设A是n阶矩阵，如果数和n维非零列向量成立使关系式A=那么，这样的数称为方阵A的特征值，非零向量称为A的对应于特征值的特征向量.为什么应该是非零向量？3 二、矩阵的特征值与特征向量的求法为了进一步讨论矩阵A的特征值和特征向量的计算方法，把定义公式A=改写成(I–A)=0即是齐次线性方程组(I–A)x=0的非零解.det(I–A)=0由齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是4 特征多项式和特征方程的定义定义4.2设A=(aij)为n阶矩阵，含有未知数的矩阵I–A称为A的特征矩阵.其行列式称为A的特征多项式.det(I–A)=0称为A的特征方程.5 推论1如果是A的属于0的特征向量，则c(c0为任意常数)也是A的属于0的特征向量.推论2如果1,2都是A的属于0的特征向量，且1+20，则1+2也都是A的属于0的特征向量.由齐次线性方程组解的性质:6 例设矩阵求A的特征值与特征向量.三、举例解A的特征多项式为所以，A的特征值为7 当时,解方程组即解之得基础解系为所以是对应于的全部特征向量;8 当时,解方程组得基础解系：所以是对应于的全部特征向量.9 例设矩阵求A的特征值.解A的特征多项式为所以，A的特征值为特征值的计算不容易！！10 例n阶对角矩阵A，上(下)三角形矩阵B的特征值都是它们的n个主对角元a11,a22,,ann.因为它们的特征多项式为I–A=I–B=(–a11)(–a22)(–ann)11 练习解12 13 当时,解方程组14 求矩阵特征值与特征向量的步骤：1.计算的特征多项式|I–A|;2.求特征方程|I–A|=0的全部根1,2,···,n,也就是A的全部特征值;3.对于特征值i,求齐次方程组(iI–A)x=0的非零解,也就是对应于i的特征向量.15 关于矩阵的特征值的几点说明1.若n阶矩阵的特征值都是实数，则它们不一定各不相同,即矩阵的特征值可以是特征方程的重根.在计算特征值的个数时，重根按重数计算.2.k重根叫做k重特征值。16 3.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的.一个特征向量不能属于不同的特征值.如果X同时是A的属于特征值l1,l2(l1l2)的特征向量,即有则l1x=l2x即(l1-l2)x=0.由于l1-l20,则x=0,而这是不可能的.**17 例4设矩阵A为对合矩阵(即A2=I),且A的特征值都是1,证明:A=I.由于A的特征值都是1,这说明-1不是A的特征值,即|I+A|0.因而I+A可逆.(I+A)-1即可得A=I.在(I+A)(I–A)=0两端左乘由A2=I可得(I+A)(I–A)=0,证明18 定理1若x1和x2都是A的属于特征值l0的特征向量,则k1x1+k2x2也是A的属于l0的特征向量.(其中k1,k2是任意常数但k1x1+k2x20)四．特征值与特征向量的性质证由于x1,x2是齐次线性方程组(l0I-A)x=0的解,因此k1x1+k2x2也是上式的解。故当k1x1+k2x20时,是A的属于l0的特征向量.19 称A的主对角元的和为A的迹，记作tr(A)。*证：设(*)=n+c1n1++cknk++cn-1+cn(*)式可表示为2n个行列式之和,其中展开后含n1项的行列式有下面n个：定理4.2若n阶矩阵A=(aij)的n个特征值1,2,,n，20 它们的和等于(a11+a22+…+ann)n1=(*)式中不含的常数项为21 结论：当detA=0时,A至少有一个零特征值.当detA0时,A的特征值全为非零数;所以，由根与系数的关系及常数项相等，得22 矩阵的特征值和特征向量的重要性质:性质1:若l是矩阵A的特征值,x是A在属于l的特征向量,则(i)kl是kA的特征值(k是任意常数),(ii)Lm是Am的特征值(m是正整数),(iii)当A可逆时,l-1是A-1的特征值;且x仍是矩阵kA,Am,A-1的分别对应于特征值kl,lm,1/l的特征向量.23 证(ii)A(Ax)=A(lx)=l(Ax)=l(lx),即A2x=l2x再继续上述步骤m-2次,就得Amx=lmx.(iii)当A可逆时,l0,由Ax=lx可得A-1(Ax)=A-1(lx)=lA-1x,因此A-1x=l-1x故l-1是A-1的特征值,且x也是A-1对应于l-1的特征向量.24 性质2矩阵A和AT的特征值相同.证因为lI-AT=(lI)T-AT=(lI-A)T所以det(lI-A)=det(lI-AT)因此,A和AT有完全相同的特征值.补充性质设是方阵A的特征值.设=a0+a1+…+amm,定义A=a0E+a1A+…+amAm,则是A的特征值.25 因是A的特征值,故有p0使Ap=p.证明Ap=(a0E+a1A+…+amAm)p=a0Ep+a1Ap+…+amAmp=a0p+a1p+…+ammp=(a0+a1+…+amm)p=p,所以是A的特征值.26 例设A为可逆矩阵,为A的特征值,p为对应的特征向量,证明:特征值,p为A*对应的特征向量.为A*的因此结论成立.由已知条件可知证明故27 例设三阶矩阵A的特征值为设矩阵试求:(1)B的特征值;(2)|B|.令则B的特征值分别为:解28 例例40(4,2,5)29 30 定理4.3：n阶矩阵A的互不相同的特征值，对应的特征向量线性无关31 练习题解答则是A-1的一个特征值.-3是A的一个特征值.由ATA=2I得,|A|2=|ATA|=|2I|=16,是A*=|A|A-1的一个特征值.所以,但|A|<0,故A可逆,且|A|=-4.由|A+3I|=0知,练习题设4阶方阵A满足条件:|A+3I|=0,ATA=2I,|A|<0,求A*的一个特征值.32 则称A相似于B,五．相似矩阵及其性质定义4.3设A,B为n阶矩阵,若存在n阶可逆矩阵P，使得P-1AP=B,记作A~B.相似与等价的关系若两个矩阵相似，则它们一定等价，反之，两个等价的矩阵不一定相似.33 例设矩阵P，Q都可逆,可知34 可以看出，与A相似的矩阵不是唯一的，也未必是对角矩阵.(a)自反性A~A.(b)对称性如果A~B,则B~A.(c)传递性如果A~B,B~C,则A~C.性质：设A，B，C为n阶矩阵，则有对某些矩阵，如果适当选取可逆矩阵P，就有可能使P-1AP成为对角矩阵.35 (1)P-1(k1A1+k2A2)P=k1P-1A1P+k2P-1A2P其中k1,k2是任意常数.(2)P-1(A1A2)P=(P-1A1P)(P-1A2P),(3)若A~B,则Am~Bm,(m为正整数).证因为A~B,Bm=(P-1AP)(P-1AP)存在可逆阵P使P-1AP=B,...(P-1AP)=P-1AmP,Am~Bm.(4)若A~B,则f(A)~f(B),其中f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0f(A)=anAn+an-1An-1+...+a1A+a0I36 =|A–I|.只需证A与B有相同的特征多项式.由于A与B相似,所以,必有可逆矩阵P,使得P-1AP=B,|B–I|=|P-1||A–I||P|证明定理4设矩阵A~B，则A,B具有相同的特征值.注：定理4的逆命题不成立=|P-1AP–P-1EP|37 证明由A~B，存在可逆矩阵P，有P-1AP=B.于是detB=det(P-1AP)=det(P-1)·detA·detP=detA.相似矩阵性质:1.相似矩阵的行列式相等.如果A~B，则detA=detB.38 证明由A~B，存在可逆矩阵P，有P-1AP=B.这说明矩阵A与B相抵，可得r(A)=r(B).2.相似矩阵的秩相等.如果A~B，则r(A)=r(B).3.相似矩阵或都可逆或都不可逆.当它们都可逆时，它们的逆矩阵也相似.39 解（1）第二节矩阵可对角化的条件(1)求A的特征值与特征向量．(2)求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵.40 41 42 一、矩阵可对角化的条件如果n阶矩阵A可以相似于一个n阶对角矩阵，则称A可对角化，称为A的相似标准形是否存在可逆矩阵P，使P-1AP成为对角矩阵?所有的n阶矩阵都可对角化.矩阵可对角化的充分必要条件?定理4.5n阶矩阵A相似于n阶对角矩阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.43 证明设有可逆矩阵P,使得P-1AP=,=diag(1,2,…,n).令P=(p1p2…pn),必要性得AP=P,即Api=ipi,i=1,2,…,n,因为矩阵P可逆,所以p1,p2,…,pn线性无关.它们分别是A对应于特征值1,2,…,n的特征向量.44 充分性如果矩阵A有n个线性无关的特征向量p1,p2,…,pn,对应的特征值分别为1,2,…,n,则有Api=ipi,i=1,2,…,n以这些向量为列构造矩阵P=(p1p2…pn),即P-1AP=.则P可逆,且AP=P,其中=diag(1,2,…,n).注:A与对角阵相似，的主对角元是A的特征值，若不计其排列顺序，则唯一，称为A的相似标准形。与对角阵相似的矩阵,称为可对角化矩阵。45 定理4.6设1,2,…m是方阵A的m个各不相等特征值,1,2,…,m依次是与之对应的特征向量.则1,2,…,m线性无关.证　用数学归纳法当m=1时，属于特征值1的特征向量10线性无关.设m=s–1时，结论成立.设k11+k22+…+kss=0(1)(1)左乘矩阵A,得A(k11+k22+…+kss)=0(1)两边乘以s，k1s1+k2s2+…+ksss=0(2)46 k111+k222+…+ksss=0(3)(2)-(3),得k1(s-1)1+…+ks-1(s-s-1)s-1=0由归纳法假设1,2,…,s-1线性无关，所以ki(s-i)=0,i=1,2,…,s–1但si(i=1,2,…,s–1)，所以必有k1=k2=…=ks-1=0代入k11+k22+…+kss=0，有kss=0(s0)于是ks=0.因此，1,2,…,s线性无关.k1s1+k2s2+…+ksss=0(2)k1A1+k2A2+…+ksAs)=047 推论如果n阶矩阵A有n个互不相同的特征值1,2,…,n,则A与对角矩阵相似.其中的主对角线的元依次为1,2,…,n.应注意，由n阶矩阵A可对角化，并不能断定A必有n个互不相同的特征值.例如，数量矩阵aI是可对角化的，但它只有特征值a(n重).注意1:属于不同特征值的特征向量是线性无关的;注意2:属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量;48 定理4.7设n阶矩阵A的相异特征值为1,2,…m.A的属于i的线性无关的特征向量为则向量组线性无关.对于矩阵A的每一个不同的特征值i，求解齐次方程组(iI–A)x=0，取其基础解系，得到A的对应于i的线性无关的特征向量,然后把它们合在一起所得向量组仍线性无关.49 例如矩阵有特征值对应于的特征向量为对应于的特征向量?则1,2,3线性无关.50 若矩阵A的特征值中有重根，设A的所有不同特征值为1,2,…,m(mn).i是A的ni重特征值.于是n1+n2+…+nm=n.定理4.9n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是对于A的每一个ni重特征值i，特征矩阵(iI–A)的秩等于n–ni.即齐次线性方程组(iI–A)x=0的基础解系中恰有ni个向量.51 二、矩阵对角化的步骤设n阶矩阵A可对角化。Step1：求出矩阵A的所有特征值，设A有s个不同的特征值1，2，…，s，n1+n2+…+ns=n.它们的重数分别为n1，n2，…，ns,52 Step2:对A的每个特征值i,i=1,2,…,s.则P-1AP=.注意矩阵P的列与对角矩阵元素（特征值）的关系.以这些向量为列构造矩阵求(iI-A)x=0的基础解系53 例1设有矩阵(1)问矩阵A是否可对角化,若能,试求可逆矩阵P和对角矩阵,使P-1AP=.(2)使P-1AP=成立的P、是否唯一，举例说明.54 解（1）矩阵A的特征多项式为当时,解方程组基础解系：55 当时,解方程组基础解系：当时,解方程组基础解系：矩阵A有三个线性无关的特征向量,所以可对角化.56 P-1AP=.57 （2）使P-1AP=成立的P、不唯一.如若取则此时亦有P-1AP=.58 例2判定下列矩阵是否相似于对角矩阵,若相似,则求出可逆矩阵P,使P-1AP是对角矩阵.任何对角矩阵、上下三角矩阵的特征值都是其对角线上的元素,所以A的特征值为(1)解使A=P-1IP=I,矛盾。如果A相似于对角矩阵(=I),应有可逆矩阵P,59 (2)解当时，解方程组考虑：设A=（aij）是主对角元全为2的上三角阵，且存在问A是否与对角阵相似？60 当时，解方程组令因为3阶矩阵A找到了3个线性无关的特征向量，所以方阵A相似于对角矩阵.61 例3设相似于对角矩阵,求x与y应满足的条件.先求特征值,A的特征多项式为所以A的特征值为解62 A相似于对角矩阵的充分必要条件是,应能找到两个线性无关的特征向量.二重特征值1行变换所以x、y应满足的条件为:63 例4设3阶矩阵A的特征值为对应的特征向量依次为求A和A100.因3阶方阵A的三个特征值互不相等,A=PP-1.所以A可对角化,即存在可逆方阵P,使解令64 因为A=PP-1，所以A100=P100P-1,65 第三节实对称矩阵的对角化实数域上的对称矩阵简称为实对称矩阵.但实对称矩阵一定可对角化，其特征值和特征向量具有一些特殊的性质.定理4.10实对称矩阵的特征值都是实数.P.242一、实对称矩阵特征值的性质66 设12是A的两个特征值，p1,p2分别为A的属于特征值1,2的特征向量，于是1p1=Ap1,2p2=Ap2,12.证明定理4.11实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量相互正交.因A对称,故1p1T=(1p1)T=(Ap1)T=p1TAT=p1TA,于是1p1Tp2=p1TAp2=p1T(2p2)=2p1Tp2,即(1-2)p1Tp2=0.但12,故p1Tp2=0,即p1与p2正交.67 例1设有实对称矩阵验证A的属于不同特征值的特征向量相互正交.解可求得A的特征值为1=2=-1,3=8.属于特征值–1的全部特征向量?(c1c20)A的属于特征值8的全部特征向量为(c30)68 证明对矩阵A的阶数用数学归纳法.当n=1时…假设对任意的n–1阶实对称矩阵，结论成立.假设1是n阶实对称矩阵A的属于1的单位特征向量.定理4.12设A为n阶实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ成为对角矩阵.任取以1为第一列的正交矩阵Q1=(1,R)，69 A1=RTAR为(n–1)阶实对称矩阵.对于A1，存在(n–1)阶正交矩阵Q2，使得Q3仍是正交矩阵，记Q=Q1Q3,Q-1AQ为对角矩阵,结论成立。70 二、实对称矩阵对角化方法任一实对称矩阵A都可以对角化。对A的任一ni重特征值i，齐次方程组(iI–A)x=0的基础解系中必含有ni个线性无关的向量（A的属于i的特征向量）把这些向量正交化、单位化后，合在一起就得到正交矩阵Q，使Q-1AQ成为对角矩阵.71 Step1求出特征方程det(I–A)=0的所有不同的根1,2,…,m,i为A的ni重特征值.Step2对每一特征值i，求齐次线性方程组(iI–A)x=0的一个基础解系Step3将施密特正交化,再将所得正交向量组单位化:Step4令则Q为正交矩阵，且72 解所以A的三个特征值为:A的特征多项式为例2设求正交矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.73 当时,解方程组当时,解方程组74 当时,解方程组显然,p1,p2,p3两两正交,再将把它们单位化.P为正交矩阵,75 例3设求正交矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.方法评注本例属于特征值有重根的情形.由于矩阵可对角化，故对于二重特征值，一定可以找到两个线性无关的特征向量.为简单起见，可直接求出两个正交的特征向量.76 A的特征多项式为解A的特征值为当时,解方程组77 当时,解方程组令P为正交矩阵，78 例4求一个阶实对称矩阵A，它的特征值为6,3,3,且特征值6对应的一个特征向量为1=(1,1,1)T.解法评注由于实对称矩阵一定可以对角化，所以一定存在可逆矩阵P，使关键是求P(正交矩阵?可逆矩阵?)A=Pdiag(6,3,3)P-1.P-1AP=diag(6,3,3),解设特征值3对应的特征向量为x=(x1,x2,x3)T,由于实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交,(1,x)=x1+x2+x3=079 解得基础解系取2,3为特征值3对应的两个线性无关的特征向量80 例5设实对称矩阵A和B是相似矩阵，证明：存在正交矩阵T，使得：证设1,2,,n是A和B的特征值，T11AT1=diag(1,2,,n)=T21BT2令T=T1T21（T是正交矩阵，且T1=T2T11)，就有T1AT=B则存在正交阵T1和T2，使得于是T2T11AT1T21=B81 例6若n阶实对称矩阵A和B的特征值完全相同，证明存在正交矩阵T和n阶矩阵Q,使A=QT和B=TQ同时成立。证由于实对称矩阵与对角阵相似，对角元为特征值1,2,,n，所以,AB且存在正交阵T1使T11AT1=B,记T11=T(T正交阵)，AT1=Q,B=TQ，则A=T1BT11=命题成立。T1TQT11=QT1-1=QT82 例7设A和B都是n阶实对称矩阵，若存在正交矩阵T，使T1AT,T1BT都是对角阵，则AB是实对称矩阵。证(AB)T=BTAT=BA,AB对称←→AB=BA。T1AT=diag(1,2,,n)=1T1BT=diag(1,2,,n)=2则12=diag(11,22,,nn)=21,AB=T1T1·T2T1=T21T1==T12T1所以，(AB)T=BA=AB,即AB是实对称矩阵。T2T1·T1T1=BA83