高中数列通项公式求法及数列求和

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1、数列的综合应用         【教学目标】:  1、掌握常见的求数列通项的一般方法;  2、用数列知识分析解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题。【教学重难点】:  1、掌握常见的求数列通项的一般方法;  2、用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题  3、灵活应用等差数列、等比数列的定义,把非等差或等比数列的问题,转化成等差或等比数列问题来   解决.  4、用数列知识对数列应用题进行正确的建模。【教学过程】知识要点梳理知识点一:求数列通项公式的一般求法1.公式法:  ①若数列是等差数列或等

2、比数列,可利用等差数列或等比数列的通项公式求.  ②若已知数列的前n项和公式,则。2.观察法:  观察数列特征,找出各项共同的构成规律,归纳找出通项公式。  (1)根据所给数列的前几项求其通项时,常用观察分析法,先找相同的部分,再找出不同部分与序号    n之间的关系。  (2)熟记以下数列的前几项:,,,,,,。  (3)项若正负相间,注意用或表示。3.累加法:  利用恒等式求通项公式的方法;形如(为可求和的等差或者等比数列)的递推数列求通项公式常用此法。4.累乘法:  利用恒等式求通项公式的方法;形如的递推数列求通

3、项公式常用此法。5.转化法:  通过对递推关系式进行适当变形,将非等差(等比)数列转化为与等差数列或等比数列有关的数列形式,从而求得通项公式的方法。常用转化途径:  (1)把数列的每一项都取倒数,构成一个新的数列,看新数列是否为等差或者等比    数列;  (2)一般地,对递推式为,(为常数,)的数列,均可用待定    系数法转化为一个新的等比数列来求通项公式。具体步骤:设得    ,利用已知得即,从而将数列转化为求等比数列    的通项。6.数列通项与的关系法:  如果已知条件是关于、的关系式,可利用,将条件转化为仅

4、含或的关系式再根据关系式想法求通项公式。注意分n=1和n≥2两种情况讨论,若能统一,则应统一,否则,分段表示。知识点二:数列应用题  在我们生活中经常遇到利息、分期付款和优化等实际问题.1.复利的概念:  银行按规定在一定时间结算利息一次,结息后即将利息并入本金,这种计算方法叫做复利.2.分期付款  采用分期付款,可以提供几种付款方案,供顾客选择,对于每一种分期付款方案应明确以下几点:  (1)规定多少时间内付清全部款额;  (2)在规定时间内分几期付款,选择什么还款方式;  (3)规定多长时间段结算一次利息,并且在规

5、定时间段内利息按复利计算.  在选择分期付款方案时,必须计算各种方案中每期应付款多少,总共应付款多少,这样才便于比较,优化选择方案.规律方法指导求数列通项公式的常用方法总结:1.公式法:  ①若数列是等差数列或等比数列,可利用等差数列或等比数列的通项公式求.  ②若已知数列的前n项和公式,则。2.观察法:  观察数列特征,找出各项共同的构成规律,用不完全归纳法求通项公式。3.累加法:  已知(可求和),求通项公式常用此法。4.累乘法:  已知,求通项公式常用此法。5.转化法:  通过对递推关系式进行适当变形构造,得到一

6、个新数列为等差数列或等比数列。一般地,对递推式为,(为常数,)的数列,均可用待定系数法转化为一个新的等比数列来求通项公式。具体步骤:设得,利用已知得即,从而将数列转化为求等比数列的通项。6.数列通项与的关系法:  已知、的关系式,利用,将条件转化为仅含或的递推关系式,再根据关系式选用以上方法求通项公式。注意分n=1和n≥2两种情况讨论,若能统一,则应统一,否则,分段表示。7.先猜后证法:  根据已知条件求出前几项,猜出通项,再用数学归纳法证明。类型一:观察法求数列的通项公式  1.写出下面各数列的一个通项公式:  (1

7、)1,,,,,…;  (2)2,11,101,1001,10001,…;  (3)3,0,3,0,3,…;  解析:  (1)各项正负相间,可用表示;    各项分母是2―1,22―1,23―1,……,    ∴数列的一个通项公式为。  (2)各项为100+1,101+1,102+1,103+1,    ∴数列的一个通项公式。  (3)因为1,0,1,0,……的通项为,    ∴3,0,3,0,……的通项公式为。  总结升华:  (1)根据所给数列的前几项求其通项时,常用观察分析法,先找相同的部分,再找出不同部分与序号

8、    n之间的关系。  (2)熟记以下数列的前几项:,,,,,,。  (3)项若正负相间,注意用或表示。  举一反三:  【变式】写出下面各数列的一个通项公式:  (1),,,,…。  (2)8,88,888,8888,88888,…  【答案】  (1),,,    ∴数列的通项公式为。  (2)将数列改写为    ∴.类型二

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