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《strongart数学科普：从平面距离到抽象距离》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、数学科普：从平面距离到抽象距离提起距离，想必是为大多数人所熟知的，最朴素的说法是两点间的线段的长度。但这里的一个隐含的前提是在一个平直的空间（欧氏空间）之中，对于这一点只要想一下球面上的两点间的距离（大圆的劣弧长）就容易理解了。可见，距离是与空间相关的，我们在说距离的时候都是指某个空间中的距离，但这样的空间往往因为默认而被省略。在下文中如果不作特殊说明的话，所涉及的空间都是指欧氏空间，读者不妨以二维欧氏空间（就是通常所说的平面）做一个直观的类比。事实上，我们可以把两点间的距离看作是连接这两点的曲线段的最小长，只是在欧氏空间中这样的曲线段就是线段，而我们通常所说的三角不等式则是这种
2、最小性的表现。这一点对下文中关于距离的抽象化过程，是非常关键的。设点A、B∈R，对于A、B的距离d有两种不同的理解，这可以通过下面的不同记法看出。1）d=d（AB）2）d=d（A，B）如果把d视为一个函数的话，那么1）中它是在线段上取值，而2）中则是在R×R的点上取值的。在第一种理解的基础上，我们可以把d的定义域推广到平面区域以及更高维的区域中去，于是得到面积和一般度量的概念，甚至可以推广到象有理数集Q这样的集合上面，得到所谓测度的概念。在本文之中，我还是把它看成是R×R上的函数，比如通常在平面上两点x与y之间的距离就给定为：d（x，y）=[（x1-y1）^2+(x2-y2)^2
3、]^1/2其中x,y分别为坐标是（x1,x2）、（y1,y2）的点。类似的，我们容易把它推广至R^n中，而这样的距离函数d有如下的性质:对R中的任何点A、B、CD1：d(A,B)≥0（非负性）D2：d(A,B)=0当且仅当A=B（唯一性）D3：d(A,B)=d(B,A)（对称性）D4：d(A,B)≤d(A,C)+d(C,B)（最小性）其中D4又往往被称为三角不等式，它是几何意义在先的，代数上等价于所谓的柯西不等式。受这样的启发，我们可以用一般的集合X来代替R^n，结果就得到了如下定义。定义：所谓度量空间（又叫做距离空间）(X,d)，指在其中定义了度量（或距离）d的这种结构的集合X
4、，d是定义在X×X上的函数，且对X中的任何点A、B、C，满足如下的度量（或距离）公理：D1：d(A,B)≥0（非负性）D2：d(A,B)=0当且仅当A=B（唯一性）D3：d(A,B)=d(B,A)（对称性）D4：d(A,B)≤d(A,C)+d(C,B)（最小性）事实上，这样的一组公理并不是独立的，公理D1完全可以由其余的三个公理推出（为什么？），但由于D1也是非常重要的，所以我们还是把它单独放到了公理之中。想必读者已经注意到上述四条公理与性质之间的相似之处了，这正是所谓公理化方法的表现，我把它归结为“性质优先”这四个字。简单的说，就是从研究具体对象的性质转到通过强化这样的性质来包
5、容更多乃至更高层次的对象。细心的读者也许注意到了，在距离空间的定义中就使用了这样的记号（X，d），它强调了尽管基础集合相同，但只要定义的距离不同，它就不是同一个距离空间（就好象第一个坐标相同的两个点未必相同一样）。那么是不是任何一个非空集合X都能被赋予一个距离d呢？答案是肯定的。命题对任何一个非空集合X，都存在一个函数d:X×X→[0，∞）满足距离公理D1-D4.证明：可以定义如下的距离ρ，ρ(x,y)=1，若x≠y；ρ(x,x)=0，若x=y，则易知这样的ρ满足公理D1-D4（请读者自己验证）。■上面定义的距离称为是离散距离，这样的名称大概是与相应的拓扑有关。这样的抽象化比起从
6、平直到弯曲的推广而言，显然是要高上一个层次。尽管我们通常也称某个X是距离空间，那是因为已经默认了一个距离d，比如在R上定义的距离通常被默认为：d(x,y)=︱x-y︱，x∈R,y∈R当然我们也可以在R上定义其他的距离，比如说上面的离散距离ρ。显然，(R,d)≠(R,ρ)，相信聪明的读者也还可以给出其他的距离。而在所谓的欧氏空间R^n中，我们默认的距离则由下式给出：d（x，y）=[（x1-y1）^2+…+(xn-yn)^2]^1/2（1）其中x,y分别为坐标是（x1,…,xn）、（y1,…,yn）的点。读者若是觉得太抽象的话，不妨还是考虑一下n=2的情形，它正是平面直角坐标系中的两
7、点间的距离公式，而其几何意义则是著名的毕达哥拉斯定理。对于n维的情形，它可以直观的理解为n维长方体的对角线之长，但这里存在着一个直观的缺陷。n>3时，就不存在所谓朴素直观的几何了，因此更值得以解析的方式处理。我们不妨就把（1）式作为欧氏空间R^n中两点间距离的定义，其合理性则可以由距离公理D1-D4来保证。对于（1）式的距离，如果我们把其中的指数2换成任意的p≥1，同时把二次根式改成p次根式，就得到R^n的另一个距离，只是证明要稍微麻烦一些。同样，我们还可以把R换成复数域C，把相
