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1、算法大全差分方程模型第十六章差分方程模型离散状态转移模型涉及的范围很广，可以用到各种不同的数学工具。下面我们对差分方程作一简单的介绍，下一章我们将介绍马氏链模型。§1差分方程1.1差分方程简介规定t只取非负整数。记yt为变量y在t点的取值，则称Δyt=yt+1.yt为yt的一阶向前差分，简称差分，称Δ2yt=Δ(Δyt)=Δyt+1.Δyt=yt+2.2yt+1+yt为yt的二阶差分。类似地，可以定义yt的n阶差分Δnyt。由t、yt及yt的差分给出的方程称为yt的差分方程，其中含yt的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程Δ2yt+Δy
2、t+yt=0也可改写成yt+2.yt+1+yt=0。满足一差分方程的序列yt称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。称如下形式的差分方程a0yn+t+a1yn+t.1+L+anyt=b(t)（1）为n阶常系数线性差分方程，其中a0,a1,L,an是常数，a0≠0。其对应的齐次方程为a0yn+t+a1yn+t.1+L+anyt=0（2）容易证明，若序列yt(1)与yt(2)均为（2）的解，则yt=c1yt(1)+c2yt(2)也是方程（2）的解，其中c1,c2为任意常
3、数。若yt(1)是方程（2）的解，yt(2)是方程（1）的解，则yt=yt(1)+yt(2)也是方程（1）的解。方程（1）可用如下的代数方法求其通解：（I）先求解对应的特征方程a0λn+a1λn.1+L+a0=0（3）（II）根据特征根的不同情况，求齐次方程（2）的通解。（i）若特征方程（3）有n个互不相同的实根λ1,L,λn，则齐次方程（2）的通解为c1λ1t+L+cnλtn（c1,L,cn为任意常数）（ii）若λ是特征方程（3）的k重根，通解中对应于λ的项为(c1+L+cktk.1)λt，ci(i=1,L,k)为任意常数。（iii）若特征方程（3）有单重复根λ=α±βi，通解中对应它们
4、的项为c1ρtcos.t+c2ρtsin.t，其中ρ=α2+β2为λ的模，.=arctgβ为λ的幅角。α（iv）若λ=α±βi是特征方程（3）的k重复根，则通解对应于它们的项为k.1tk.1t(c+L+ct)ρcos.t+(c+L+ct)ρsin.t1kk+12k-192-ci(i=1,L,2k)为任意常数。（III）求非齐次方程（1）的一个特解yt。若yt为方程（2）的通解，则非齐次方程（1）的通解为yt+yt。求非齐次方程（1）的特解一般要用到常数变易法，计算较繁。对特殊形式的b(t)也可使用待定系数法。例如，当b(t)=btpk(t)，pk(t)为t的k次多项式时可以证明：若b不是特
5、征根，则非齐次方程（1）有形如btqk(t)的特解，qk(t)也是t的k次多项式；若b是r重特征根，则方程（1）有形如bttrqk(t)的特解。进而可利用待定系数法求出qk(t)，从而得到方程（1）的一个特解yt。例1求解两阶差分方程yt+2+yt=t。解对应齐次方程的特征方程为λ2+1=0，其特征根为λ1,2=±i，对应齐次方程的通解为ππ=ccost+csintyt1222原方程有形如at+b的特解。代入原方程求得a=1，b=.1，故原方程的通解22为ππ11ccost+csint+t.122222例2在信道上传输仅用三个字母a,b,c且长度为n的词，规定有两个a连续出现的词不能传输，
6、试确定这个信道容许传输的词的个数。解令h(n)表示容许传输且长度为n的词的个数，n=1,2,L，通过简单计算可求得：h(1)=3，h(2)=8。当n≥3时，若词的第一个字母是b或c,则词可按h(n.1)种方式完成；若词的第一个字母是a，则第二个字母是b或c，该词剩下的部分可按h(n.2)种方式完成。于是，得差分方程h(n)=2h(n.1)+2h(n.2)，(n=3,4,L)其特征方程为λ2.2λ.2=0特征根λ1=1+3，λ2=1.3则通解为h(n)=1(1+3)n+c2(1.3)n，(n=3,4,L)利用条件h(1)=3，h(2)(c)=8，求得2+3.2+3h(n)=(1+3)n+(1
7、.3)n，(n=1,2,L)2323在应用差分方程研究问题时，我们常常需要讨论解的稳定性。对常系数非齐次线性差分方程（1），若不论其对应齐次方程的通解中任意常数c1,L,cn如何取值，在t→+∞时总有yt→0，则称方程（1）的解是稳定的。根据通解的结构不难看出，非齐次方-193-程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于1。1.2常系数线性差分方程的Z变换解法常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也
