10平方差公式 立方和与立方差公式

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1、平方差公式  完全平方公式   立方和与立方差公式   一、学习目标   熟练掌握平方差公式,完全平方公式,立方和与立方差公式,并能灵活地应用它们进行计算   二、学习要求   1、知道乘法公式是一种特殊形式的乘法,是通过多项式的乘法,把特殊多项式相乘的结果写成公式形式并加以运用。   2、理解五个乘法公式,掌握这五个公式的结构特征,并会用这五个公式进行运算。   3、会用这五个公式使计算简便,会简捷地计算某些数的积。   4、能够灵活运用公式进行计算,提高运算能力。   三、例题分析第一阶梯   [例1]我们来计算(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2

2、=a2-b2,这就是说,两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,这个公式就叫做乘法的平方差公式,利用这个公式计算:   (1)(2x+3y)(2x-3y)      (2)(1+2a)(1-2a)    (3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)  (4)(-a2-b2)(b2-a2)   提示:   刚开始使用公式,运算格式可分两步走,第一步先按公式特征写出一个"框架",如(1)(2x+3y)(2x-3y)=()2-()2,第二步分析哪项相当于公式中的a,哪项相当于公式中的b,并在"框架"中填数计算。   参考答案:   (1)(2x+3y)(2x

3、-3y)=(2x)2-(3y)2=4x2-9y2   (2)(1+2a)(1-2a)=12-(2a)2=1-4a2   (3)(2x3+5y2)(2x3-5y2)=(2x3)2-(5y2)2=4x6-25y4   (4)(-a2-b2)(b2-a2)=(-a2-b2)(-a2+b2)=(-a2)2-(b2)2=a4-b4   说明:   平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的特征是:   (1)左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数。   (2)右边是乘式中两项的平方差:即用相同项的平方减去相反项的平方,在学习平方差公式

4、时还应注意:   ①公式中的a和b可以是具体数,也可以是单项式或多项式   ②一定要认真仔细地对题目进行观察研究,把不符合公式标准形式的题目加以调整,使它变化为符合公式标准的形式,如第(4)小题。   [例2]计算(a+b)2和(a-b)2,可知(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2,即(a±b)2=a2±2ab+b2,这就是说,两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或者减去)它们积的2倍,这两个公式叫做乘法的完全平方公式。利用这两个公

5、式计算(1)(x+5)2   (2)(2-y)2  (3)(3a+2b)2     (5)(-a+2b)2   提示:   在套用完全平方公式进行计算时,一定要先弄清题目中的哪个数或式是a,哪个数或式是b。   参考答案:   (1)(x+5)2=x2+2·x·5+52=x2+10x+25   (2)(2-y)2=22-2·2·y+y2=4-4y+y2   (3)(3a+2b)2=(3a)2+2·3a·2b+(2b)2=9a2+12ab+4b2        (5)(-a+2b)2=(-a)2+2·(-a)·2b+(2b)2=a2-4ab+4b2   说明: 

6、  1、(a+b)2=a2+2ab+b2与(a-b)2=a2-2ab+b2都叫做完全平方公式,为了区别,我们把前者叫做两数和的完全平方公式,后者叫做两数差的完全平方公式。   2、这两个公式的结构特征是:左边是两个相同的二项式相乘,(即二项式的平方形式),右边是三项式,是左边二项式中两项的平方和,加上(这两项相加时)或减去(这两项相减时)这两项乘积的2倍。   3、公式中的字母a、b既可以表示具体的数,也可以表示单项式或多项式等代数式。   4、只要符合这一公式的结构特征,就可以运用这一公式,在运用公式时,注意防止发生(a±b)2=a2±b2这样的错误。   

7、[例3]计算(a+b)(a2-ab+b2)和(a-b)(a2+ab+b2),可知(a+b)(a2-ab+b2)=a2-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3,(a-b)(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3=a3-b3,即(a±b)(a2ab+b2)=a3±b3,这就是说,两数和(或差)乘以它们的平方和与它们的积的差(或和),等于这两个数的立方和(或差),这两个公式叫做乘法的立方和公式与立方差公式,利用这两个公式计算:   (1)(x+2)(x2-2x+4);(2)(3-y)(9+3y+y2);   (3)(3x-4y)(9

8、x2+12xy+16y2);   (5

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