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研究生学位课程IntelligentControlTheoryofElectromechanicalSystem二、模糊集合（FuzzySets）现代数学可以在若干公理的基础上用集合来加以构筑，同样模糊集合为模糊理论及模糊控制提供了基础。本章的主要内容为：FromClassicalsetstoFuzzysets:BasicConceptsAssociatedwithAFuzzySet,OperationsonFuzzySets。2.1普通集合(经典集合或清晰集合Classical/CrispSet)集合定义(DefinitionofSet):A):“能够明确区分本体与非本体的组合方式”；B):“具有某种特点的事物之全体”问题：所有非集合之全体是否集合？2.1.1集合的表示方法：1）直接(列举)描述法X＝{x1,x2,x3,……xn}X={x∣x具有某种特性}xi∈X;i=1,……,nx∈X例1:E={x∣x为自然数}当x=1.2时,x∈E例2:F={x∣x为自然数且1≤x≤10};F={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}当x=0时,x∈F2)图形法文氏图3)定义函数法:建立映射(map)χE→{0,1}定义函数2.1.2集合关系:整体和部分：全集U、子集、空集φ、补集；χU＝1,χφ＝0一个集合至少包含两个子集，本身和空集包含：以来表示A包含B，若且；则A＝B2.1.3集合运算:和二值布尔代数相同，交、并、补三种基本运算构成交运算：符号∩；A∩B→χA∩B＝Min(χA,χB)＝٨(χA,χB)并运算:符号∪；A∪B→χA∪B＝Max(χA,χB)＝٧(χA,χB)补运算:符号c；Ac→χAc＝1-χA11 研究生学位课程IntelligentControlTheoryofElectromechanicalSystem2.1.4集合运算的基本定律交换律：E∪(F∪G)=(E∪F)∪G,E∩(F∩G)=(E∩F)∩G分配律：E∪(F∩G)=(E∪F)∩E∪G）,E∩(F∪G)=(E∩F)∪E∩G）吸收律：E∪E＝E，E∩E＝E排中律：E∪EC＝U矛盾律：E∩EC＝φ双重否定律：(EC)C=E摩根定理：(E∪F)C＝EC∩FC,(E∩F)C＝EC∪FCHomework(作业)2-1：试证明上述定律(可任用定义函数、文氏图、穷举等方法)例3：因为A∪B→χA∪B＝Max(χA,χB)；所以(E∪F)∪G→χ(E∪F)∪G＝Max{χE∪F,χG}＝Max{Max(χE,χF),χG}＝Max{χE,χF,χG}＝Max{(χE,Max(χF,χG))=Max{χE,χF∪G}＝χE∪(F∪G)2.2模糊集合（FS）――经典集合（CS）的扩展经典集合只能进行“是（1）”与“非（0）”的表达，无法描述（归纳）诸如“较小的自然数”、“与北京和上海想当的大都市”、“年青人”、“温暖”等事物（集合）的分类概念。例4：若X＝{x∣x为北京那样的城市}则：香港∈X或香港x∈X无法认定的。例5：集合R＝{r∣r为半径接近10CM的圆}究竟包括了那些半径的圆？例6：集合S＝{N∣N为较小的自然数}处于数轴的什么地方？2.2.1考虑到人们用这种不明确性（模糊性）的日常语言很好地表示了某种程度或相似（类似）的事物集合概念，为此定义这类集合为模糊集合（FS），并用下划线来区分与经典集合地差别。如FS：A；CS：A。对应经典集合的定义函数，用从属函数（MembershipFunction）μA(x)来表示事物（元素）x对特性（集合A）的接近/符合程度(从属度)。定义映射μA→[0,1]。μA(x)可取0到1间的数值，越接近1说明A对x的包含或x对A的从属程度越大；反之越接近0说明A对x的包含或x对A的从属程度越小。2.2.2模糊集合的表示方法1）从属函数法：μA(x)分为离散和连续两种形式。例7：设论域为：X＝{x∣x为自然数且1≤x≤10}={1,2,…,10};取其模糊子集A＝{为较小的自然数}并令μA(0)＝μA(1)＝1；μA(2)＝0.9；xμA(xi)01.011.020.930.840.650.260.0↓↓100.0μA(3)＝0.8；μA(4)＝0.6；μA(5)＝0.2；μA(6)＝μA(7)＝……＝μA(10)＝0可写成：A＝1/0+1/1+0.9/2+0.8/3+0.6/4+0.2/5(从属度为0者省略）；或A＝∑μA(xi)/xi（离散表达形式）；这里运算符号“＋”为逻辑意义上“求和”；如：0.4/4+0.6/4=0.6/4例8：已知A的从属函数其中a和λ为常（参）数则：2）图表法：见右11 研究生学位课程IntelligentControlTheoryofElectromechanicalSystem2.2.3模糊集合的运算类似于经典集合，模糊集合也有交、并、补三种基本运算。交运算：符号∩；A∩B→μA∩B(x)＝Min(μA,μB)＝٨(μA,μB)并运算:符号∪；A∪B→μA∪B(x)＝Max(μA,μB)＝٧(μA,μB)补运算:符号c；Ac→μAc＝1－μA例9：在例7的基础上，再取模糊子集B＝{有一些}令；B＝0.3/3+0.8/4+1/5+1/6+0.8/7+0.3/8则：A∪B＝(1/0+1/1+0.9/2+0.8/3+0.6/4+0.2/5)∪(0.3/3+0.8/4+1/5+1/6+0.8/7+0.3/8)＝1/0+1/1+0.9/2+0.8/3+0.8/4+1/5+1/6+0.8/7+0.3/8对于连续的从属函数有：2.3FS和CS的比较：1）模糊集合是经典集合的扩展，从定义函数到从属函数、从{0,1}到[0,1]当μA(x)仅取1和0两值的极限情况下，就是CS的定义函数。2）当X为有限集合时，X的CS子集数目也有限，当X的模糊子集通常无限多；原因在于闭区间[0,1]的取值为无限，即程度为无限。3）模糊集合的元素取自对全集U，即x∈U；或根本无元素概念4）模糊集合不满足排中律和矛盾律例10：因为：Ac→μAc＝1－μA，则A∩Ac→μA∩Ac＝٨(μA,μAc)＝Min(μA，1－μA)≠0（只要μA不为1或0）所以A∩Ac≠φ；于是不满足矛盾律例11：同理：A∪Ac→μA∪Ac＝٧(μA,μAc)＝Max(μA，1－μA)≠1（只要μA不为1或0）；所以A∪Ac≠U；于是不满足排中律Homework(作业)2-2：证明除了排中律和矛盾律外，模糊集合满足CS其他的运算基本定律2.4函数扩展模糊变量和模糊函数模糊变量:具有模糊属性的变量；模糊函数：具有模糊变量的函数2.4.1单变量函数扩展对于y＝f(x)；若，则由于x的模糊性质导致y必然也是模糊的；可设：；从映射角度看有：；这是由于一般来讲f不是单调函数时，相应的y对应多个x，必须在其中取某个对A具有最大从属度来作为y＝f(x)的从属度，这也为积分符号（并运算）意义所表达。11 研究生学位课程IntelligentControlTheoryofElectromechanicalSystem例12：有模糊集合A(x)＝{x接近3}；简单记为A＝3；又有y＝2x＋1已知：;;；对于B(y)有：；即：;；；结果是：y＝7；B(y)={y接近于7}形式上有如：y＝2x＋1＝2×3＋1＝6＋1＝7；可用普通函数的方法得到模糊变量从属度的映射变换（普通函数变量关系的扩展）；但要注意y的接近程度(模糊性)发生了变化（指数上的1/4系数）。2.4.2双变量函数扩展对于双变量函数z＝g(x,y)；若已知：x∈A；y∈B；并设z∈C，则有：C＝g(A,B)＝{z∣z＝g(x,y);且x∈A；y∈B}于是从属函数；即；上式表示固定z时取可得到此z值的各种(x,y)组合，并选其中某个使[……]中的值为最大。例13：已知：x∈a，；y∈b，；若：z＝g(x,y)＝x＋y，试求μC(z)。解：可以证明上式右边的[……]当x＝(z-a-b)/2时取最大值，故有此结果。其形式上相当于z＝g(x,y)＝x＋y＝a＋b＝C；即：Homework(作业)2-3：试求出下列函数中y的从属函数并加以比较它们的模糊性：1）y=λx＝λa；x∈A，,λ为不等于0的常数2）y=x＝λa；x∈λA，,λ为不等于0的常数11 研究生学位课程IntelligentControlTheoryofElectromechanicalSystem三、模糊关系和模糊逻辑3.1CrispSet中的Relationship～R两事物x与y的关系写成x～Ry；如x与y是亲戚、x＝y等；函数就是关系的一例:y＝f(x)。注意x～Ry不一定有y～Rx，例如x>y时就不能有y>x。用集合（子集）来表示关系，有R＝{(x,y)/x～Ry}，或(x,y)∈R等价于x～Ry。例14：定义S集合为：S＝{(x,y)/y和x是亲戚}，则S是亲戚关系的集合；例15：若T＝{(x,y)/x≤y}，则T是大小关系的集合；即(x,y)∈T时必有x≤y，反之x≤y时必有(x,y)∈T。也有用（直积）的集合形式来表示（定义）关系～Ry＝f(x)的函数关系（集合）以G(f)＝{(x,y)/y＝f(x),x∈X}来定义，G(f)即是函数f的曲线，也是f(x)曲线上点的集合例16：x≤y的集合是x＝y直线上方阴影区内所有的点(x,y)3.2fuzzySet的Relationship用或(x,y)∈R来描述x与y的模糊关系，即Crisp关系的模糊化。例17：令A•E＝{x和y大致相当}的关系；且；显然A•E就是y＝x的模糊化。又取M•G＝{y远大于x}的关系；且若对y＝f(x)的模糊化，可得R＝{y大约为f(x)}的关系，即函数→关系→模糊关系当y＝f(x)，且x∈A时，B(y)的从属函数可由y＝f(A)关系从A的从属函数求得（见2.4函数扩展）；但对于y∈G(f)或进一步y∈G[f(A)]时,如何求得y的从属函数呢？3.3集合的合成3.3.1CrispSet合成设：；R和S的合成由符号SοR表示，且定义此集合：SοR＝{(x,z)|(x,y)∈R;(y,z)∈S}为X×Z上的关系。11 研究生学位课程IntelligentControlTheoryofElectromechanicalSystem例17：R为住X区人和住Y区人的朋友关系，而S为在Y区人和住Z区人的朋友关系，则SοR可理解为X区和Z区的人具有与Y区人的共同朋友关系。xo→G(f)→f(xo)→yo如果，集合RοE＝{y|x∈E;(x,y)∈R}也是合成关系，只不过RοE属于Y的子集罢了。例18：对于函数y＝f(x)，当x＝xo时；就有yo＝f(xo)。同样可用E={xo}和R=G(f)的关系来表示函数的运算过程：G(f)ο{xo}＝{y|x∈{xo};(x,y)∈G(f)}＝{y|x＝xo;y＝f(x)}＝{f(xo)}。当x取值为{E}域，R取各种f1……fn时就可得到RοE的Y子集。3.3.2FuzzySet合成x→E→R→RoE→y在一维情况下：若R和E均为模糊形态R和E；设：x∈A；y∈B，则有B＝RοA。二维情况下：取X×Y的FuzzyRelationgship为R；Y×Z的模糊关系为S；则定义R和S的合成由下面的从属函数确定：x→A→R→RoA→y例19：在远大于(M•G)关系中取M•G(x,y)→M•G(y,z)→；可以证明当x－y＝y－z时[……]取最大值，且有y＝(x＋z)/2；因此可得到：对于M•G(x,y)；当x＝0和y＝10时，μM•G(0,10)＝0.5而对于M•GοM•G(x,z)，则有μM•GοM•G(0,10)＝0.2。这表明M•G只是“相对很大”，而M•GοM•G则是“相对非常大”。在时，B＝RοA的合成对应有：。11 研究生学位课程IntelligentControlTheoryofElectromechanicalSystem例20：设：；，于是得到：；这说明在{x约为2}和{y约为x}时有{y约为2}的含意。Homework（作业）3－1设:x∈A；对应有从属函数μA(x)，又存在函数关系y=f(x)；令y∈B且有对应从属函数μB(y)，试用合成定义f(A)=G(f)οA来证明：3－2证明合成运算的如下性质：1）；2）；3.4离散从属函数的合成运算当X和Y为有限集合X＝{x1，x2，…，xn}和Y＝{y1，y2，…，ym}，且它们之上的模糊集合A和B的从属函数为离散形式时，即：；和时，对应的可表达成：；其中rij=μR(xj,yi)。于是有：若省略离散从属函数的分母，可以简便地用向量来表示A、B为：A＝(a1，a2，…，an)T和B＝(b1，b2，…，bm)T；同时用矩阵表示R为：则：相对于普通矩阵与向量的乘积运算，只要将∧运算取代乘法和用∨运算取代加法就可以计算集合的合成运算。例21：给定A＝（0.8，0.5，0.3，1）和得：由于模糊集合理论的不完备性，现仍处于摸索试行，各种合成算法还无法严格证明。以上介绍的算法采用了∧、∨方法，故也称为Max—Min合成法。也有文献采用普通乘积代替上述Min过程的，称为Max—Product合成法。此外，还有如Sum—Product合成法（限界合成）等算法。11 研究生学位课程IntelligentControlTheoryofElectromechanicalSystem遗留问题：关系集合的从属函数μR是怎样得到的？（由逻辑推理来解决）3.5模糊逻辑Logic和推理Reference逻辑是一种思维的过程，逻辑学则是思维方法的科学，主要表现为总结和归纳；若以数学方法来处理时用数字表达命题的真伪。逻辑推理（思辩）过程用集合运算的法则来演算。3.5.1普通逻辑2值逻辑讨论命题的真伪时，用真值来表示；1代表真，用0代表伪。例如[太阳是恒星]、[日本与中国相邻]、[2为偶数]等命题的真值都为1，而[地球是卫星]、[太阳绕地球转]、[人不属于生物]等命题的真值都为0。相对于2值逻辑还有多值逻辑，如3值逻辑；可取0、1/2、1为真值；1/2代表了0和1之外的意义不明确的命题之真值。当真值取无穷多如区间[0，1]时，实际上表达了命题真伪的程度。又以[A君是美国人]的命题为例，在A君是谁及美国人之定义明确的时候，该命题为2值逻辑；反之在A君是谁或美国人的定义不明确时，则成了多值逻辑。为方便起见，采用符号来表示命题：如[aisP]、[bisnotQ]等。定义逻辑运算子符号：and(且)；or(或)；¬(否定not)；→(蕴含implication)；ó(相等equal)）例如：¬P=>[非P]、[PandQ]=>[P且Q]、[PorQ]=>[P或Q]；P→Q=>[若P则Q]、PóQ=>[P即Q]。附有逻辑算子的命题称为逻辑式，可由此式的结果（真值）来(推理)判断命题的真伪。命题真值以∣P∣、∣Q∣的形式来表示。于是在2值逻辑中就有：∣¬P∣＝1－∣P∣；∣PandQ∣＝∣P∣∧∣Q∣；∣PorQ∣＝∣P∣∨∣Q∣∣P→Q∣＝（1－∣P∣）∨∣Q∣=∣¬P∣∨∣Q∣证明：当P为真时，一定要Q也为真此命题（若P则Q）才成立（即逻辑式真值为1）；反之P为伪时，Q不确定（P真是Q真的必要条件，而非充分条件）。∣PóQ∣=∣P→Q∣∧∣Q→P∣；∣PorQ∣＝1－∣¬Pand¬P∣＝1－{（1－∣P∣）∧（1－∣Q∣）}摩根定律Homework(作业)3－3：用定义证明上述等式在无限逻辑中，真值取区间[0，1]，蕴含命题的真值变为：∣P→Q∣＝∣¬P∣⊕∣Q∣＝（1－∣P∣＋∣Q∣）∧1上式称为限界和；式中的＋号为代数和。对于P→Q的推理，有演绎法和反证法两种方法：1）演绎法：(i)P逻辑意义：Pand(P→Q)→Q(ii)P→QP称为前因；Q称为后果(iii)Q以(i)的P为前提得到(iii)的Q之结论演绎法证明：要使∣P→Q∣＝1（可以2值法为例，检验此命题的逻辑式真值是否恒为1!!），在已知∣P∣＝1时，有1＝0∨∣Q∣，显然只有Q为真（∣Q∣＝1）时才成立，故演绎推理出∣¬P∣∨∣Q∣确实能够表达∣P→Q∣的逻辑意义。2）反证法：(i)¬Q逻辑意义：¬Qand(P→Q)→¬P(此命题真值恒为1!!)(ii)P→Q因为：∣P→Q∣＝(1－∣P∣)∨∣Q∣；11 研究生学位课程IntelligentControlTheoryofElectromechanicalSystem(iii)¬P现∣Q∣＝0；故(1－∣P∣)∨0＝1所以：必须∣P∣＝0反证法说明：在∣P→Q∣＝(1－∣P∣)∨∣Q∣的逻辑式中，只要∣Q∣＝0时必须有∣P∣＝0；即∣P∣＝1时不会得出∣Q∣＝0的结果，于是反过来只可能得∣Q∣＝1的结论。由此反证推理命题成立。多值逻辑须通过解∣P→Q∣和∣P∣给定时的∣Q∣来推理命题真伪（程度）。3.5.2模糊逻辑模糊命题的一般为[xisA]的形式；如：[4是较小的自然数]、[朝鲜和中国友好]等。其中x为主语；A为x的描述语（形容）。模糊逻辑和普通逻辑的主要差别在于命题的描述语由模糊集合表示。比较[x为偶数]和[x为较小的数]两个命题，前者普通，后者模糊。通常普通逻辑有固定的标准或判据，但模糊逻辑取决于人为主观或具体问题。数个基本模糊命题由逻辑算子连接而成复合式就是复合命题。例如:[x较小]and[x较大]ó[x不居中]；它们的通式可写成[xisA]and[xisB]=[xisC]。C的从属函数当由A和B的从属函数来决定。若用模糊集合运算来表示就有：[xisA]and[xisB]=[xis(A∩B)]；[xisA]or[xisB]=[xis(A∪B)]例22：[x较大但并不非常大]＝{x为[较大∩(1－非常大)]}，其中的“较大”、“非常大”等都是模糊集合。值得注意的是两个以上的命题结合时，有实质主语和形式主语的区分，例23：[她既年青又漂亮]≠[她年青]and[她漂亮]＝[她是(年青∩漂亮)]，原因在于形式上的主语为“她”，实质上“年青”的主语是年龄；漂亮的主语是容貌。所以正确的表达应为：[她年纪青]and[她容貌漂亮]；或[xisC]and[yisD]＝[(x,y)isC×D]C×D为集合的直积：是用μC×D(x,y)＝μC(x)ÙμD(y)来定义的X×Y的模糊集合。3.5.3模糊推理模糊推理的主要形式为蕴含,其表达式形如if…then,即:[ifxisA,thenyisB]或[x若为A,则y为B]通过模糊关系R，形成[(xisA)→(yisB)]=[(x,y)isR]的复合命题。推理过程是要从A和B来得到R，最主要的方法有：R1＝A×B表示直积意义真值：μR1(x,y)＝μA(x)ÙμB(y)R2＝(A×B)∪(¬A×Y)逻辑意义真值：μR2(x,y)＝[μA(x)ÙμB(y)]Ú[1-μA(x)]R3＝¬A⊕B多值逻辑的推广真值：μR3(x,y)＝[1－μA(x)＋μB(y)]Ù1R2意指除了(xisA)→(yisB)外，还不足以说清(xis¬A)时的y属性，然而一般这时除非有专门的说明，否则y属性确实可以为任意，于是就取其全集Y，因此就有：[(xisA)→(yisB)]or[(xis¬A)→(yisY)]ó[(x,y)is(A→B)∪(¬A→Y)]因μY(y)＝1，所以R2＝(A×B)∪(¬A×Y)对应：μR2(x,y)＝[μA(x)ÙμB(y)]Ú[1-μA(x)]。作为普通逻辑演绎推理的扩展，有：普通逻辑：模糊逻辑(i)A(i)A’(ii)A→B(ii)A‗‗→B‗‗(iii)B(iii)B’当采用合成方法B＝RοA来进行运算模糊关系时，就是将R用（A→B）来表示，即从原来的（A→B）=>R扩展成（A→B）=>R。例24：取论域为X＝{x1,x2,…,xj,…,xn}；Y＝{y1,y2,…,yi,…,ym}，且A＝(a1/x1,a2/x2,…,aj/xj,…,an/xn)＝(a1,a2,…,aj,…,an)T＝a11 研究生学位课程IntelligentControlTheoryofElectromechanicalSystemB＝(b1/y1,b2/y2,…,bi/yi,…,bm/ym)＝(b1,b2,…,bi,…,bm)T＝b;Homework(作业)3－4：写出R3的矩阵表达式例25：设:A＝(1,0.8,0.4)T;B＝(0.3,1,0.7)T,分别可求得结论：1)R1相等同于2值逻辑演绎，结果B1=B2）R2和R3的结果为B2≠B；B3≠B3）虽然B1＝B，但在A＝A’时,B1未必合理，且R2和R3更符合逻辑意义，而在实践中，大多采用R2的形式（相对简单明了）。在二维变量的情况下，有蕴含形式[(xisA)and(yisB)→(zisC)]，这时的蕴含关系RÌX×Y×Z，用R＝（A×B）→C表示之；从而演绎得到：(i)(xisA’)and(yisB’)(ii)(x,y,z)isR_这里C’＝Ro（A’×B’）也可以写成(iii)z’isC’C’＝（RoA’）oB’，这是因为：本章重点（Highlight）1)集合之间可用关系（也是集合）来描述，模糊关系为清晰关系的推广11 研究生学位课程IntelligentControlTheoryofElectromechanicalSystem1)由合成运算可从一个模糊集合的从属函数得出另一模糊集合的从属函数3）模糊逻辑和普通逻辑的主要差别在于命题的描述语由模糊集合表示。4）普通逻辑命题推理的扩展成为模糊推理11
