模糊集合的模糊程度模糊熵

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1、四、模糊集合的模糊程度——模糊熵四、模糊集合的模糊程度——模糊熵A的模糊熵E(A)，在单位超立方体In中从0到1，其中顶点的熵为0，表明不模糊，中点的熵为1，是最大熵。从顶点到中点，熵逐渐增大。简单地从几何图形上来考虑可以得到熵的比例形式：熵是一个一般性的概念，它度量了一个系统或一段信息的不确定性。模糊熵描述了一个模糊集的模糊性程度。一般的定义[1]：（1）分明集是不模糊的，则分明集的模糊熵为0；（2）[1/2]是隶属性最难确认的模糊集，[1/2]的模糊性应最大（3）模糊集A与距[1/2]的1远近程度是相同的，则要求A与的模

2、糊程度一样（4）模糊集A的模糊性应具有单调变化的性质，即A越接近[1/2],A的模糊性越大；A越远离[1/2],A的模糊性越小。四、模糊集合的模糊程度——模糊熵模糊熵定理：模糊熵定理的几何图示。由对称性，完整模糊方形的四个点到各自的最近顶点、最远顶点的距离都相等。该定理正式宣告了“西方逻辑”的终止。（）四、模糊集合的模糊程度——模糊熵k>0是常数很多文章是用这个定义来求模糊熵另外的一种定义（类似于信息论中熵的定义）四、模糊集合的模糊程度——模糊熵五、模糊集合间的包含关系——包含度定理主导隶属度函数关系(dominatedme

3、mbershipfunctionrelationship)：如果A=(.30.7)和B=(.4.7.9)，那么A就是B的一个模糊子集，但B不是A的模糊子集。显然，这种模糊包含度是非模糊的，它是非黑即白的,是二值定义下的子集性(Zadeh’s1965)。1.模糊子集的几何表示B的所有模糊子集构成集合——模糊幂集F(2B)，它构成了在单位超立方体中倚着原点的规则的超长方形，其边宽等于各隶属度值mB(xi)。可以用Lebesgue测度或体积V(B)来度量F(2B)的大小，其中，体积V(B)为隶属度值的乘积：五、模糊集合间的包含关系

4、——包含度定理图7.72.包含度定理：在图7.7中，点A可以是长方形内的点，也可以不是。在长方形F(2B)外不同的点A是B的不同程度的子集。而上述二值定义下的子集性忽略了这一点。考虑到集合A属于F(2B)的不同程度，通过抽象隶属度函数来定义包含度：S(.,.)在[0,1]之间取值，其代表了多值的子集测度（包含度），是模糊理论中的基本的、标准的结构。五、模糊集合间的包含关系——包含度定理度量S(.,.)的两种方法：(1)代数方法:即失配法(fit-violationstrategy)假定X包含有100个元素：X={x1,…,x

5、100}。而只有第一个元素违背了主导隶属度函数关系，使得mA(x1)>mB(x1)。直观上，我们认为A很大程度上是B的子集。可以估算，子集性为S(A,B)=0.99，并且，如果X包括1兆个元素，A几乎完全是B的子集了。可见失配的幅度mA(x1)-mB(x1)越大，失配的数目相对于模糊集A的大小越多，那么A就越不能算是B的子集，或者说，A就越象是B的超集。直观上有：五、模糊集合间的包含关系——包含度定理失配数的计算：max(0,mA(x)-mB(x))归一化之后得到超集的最小度量：包含度为：五、模糊集合间的包含关系——包含度

6、定理这种包含度满足主导隶属度函数关系，当时，S(A,B)=1。如果S(A,B)=1，则分子被加数应都为0，因此主导隶属度函数关系都满足。反之，当且仅当B是空集时，S(A,B)=0。而空集本来就无法包含集合，无论是模糊集还是非模糊集。在这两种极端情况之间，包含度的大小为：0

7、2B)时,S(A,B)应接近于1，当A远离F(2B)时,S(A,B)应该减小。那么A与F(2B)之间的距离如何计算？五、模糊集合间的包含关系——包含度定理图7.7寻找B*(A位于F(2B)外):通过F(2B)边线的直线延伸，将超立方体In分割成2n个超长方形。他们分为混合的或是纯的主值隶属度。非子集A1,A2,A3,分别位于不同的象限。通过F(2B）与A1,A3的范数距离，分别找到与西北和东南象的点A1,A3距离最近的点B1*和B3*。而离东北象限中的点A2距离最近的点B*就是B自身。由此可证得一般性勾股定理。且这种“正交”

8、优化情况表明d(A,B)就是lp直角三角形的斜边。五、模糊集合间的包含关系——包含度定理以B为中心的l1范数区域呈钻石形。A1和A2到F(2B)等距，但A1比A2离B更近。而同时，M(A1)>M(A2)。可见，包含度依赖于基数M(A)。考虑归一化，进一步猜测：定义超集度为：d(A,F(2B