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1、数学建模思想方法模糊数学模型主讲人:王利永2021年6月29日1课题综述模糊性的产生源于模糊概念，所谓模糊概念是指有一定内涵但没有明确外延的概念。例如，“青年”这一概念，哪个年龄段的人是青年很难说清楚，这就是一个模糊概念。换句话说，模糊性就是指客观事物差异的不分明性。模糊数学是用数学方法研究与处理模糊现象的数学；它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一门新的数学学科。模糊数学诞生于1965年，它的创始人是美国自动控制专家查德(L.A.Zadeh)教授。他在第一篇论文“模糊集合”(fuzzyset)中，建立了模糊集合论，引入
2、了“隶属函数”这个概念来描述差异的中间过渡，这是精确性对模糊性的一种逼近。隶属函数的引入标志着模糊数学的建立，查德教授首次成功地运用了数学方法描述模糊概念。2021年6月29日2讲课内容一、模糊数学的基本概念二、模糊关系与模糊矩阵三、模糊综合评判方法四、模糊决策的应用实例五、模糊聚类分析方法2021年6月29日3一、模糊数学的基本概念1.1模糊集与隶属函数1.2模糊集的表示方法1.3模糊集的运算1.4模糊集A的截集1.5隶属函数的确定2021年6月29日41.1模糊集与隶属函数定义：论域U到[0，1]闭区间上的任意映射：
3、都确定U上的一个模糊集合A，叫做A的隶属函数，叫做x对模糊集A的隶属度，记为：使的点x0称为模糊集A的过渡点，此点最具模糊性。模糊集合A完全由隶属函数来刻画，当时，A退化为一个普通集。2021年6月29日51.1模糊集与隶属函数模糊数学的简单原理：[1]模糊集：对于传统集合，一个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，我们用1表示元素属于该集合，用0表示元素不属于这个集合。模糊集合论认为，一个元素可以不完全属于一个集合，用[0，1]之间的一个数来表示一个元素属于一个集合的程度，这个数叫做该元素属于该集合的隶属度。[2]模
4、糊概念的清晰化：我们可以设定一个数（比如0.5），当一个元素的隶属度大于这个数时，我们就可以认为该元素属于这个集合，这就是模糊概念的清晰化。2021年6月29日61.2模糊集的表示方法对于有限论域，则U上的模糊集A有三种表示方法：（1）zadeh（查德）表示法：注：“Σ”和“+”不是求和的意思，只是概括集合诸元的记号；“”不是分数，它表示点对模糊集A的隶属度是。（2）序偶表示法：（3）向量表示法：如果U为无限论域，则U上的模糊集A表示为：注：“”不是积分的意思，“”不是分数。2021年6月29日71.2模糊集的表示方法例1
5、设论域U={x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)}(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数可定义为用zadeh表示法：用向量表示法：A=(0，0.2，0.4，0.6，0.8，1)2021年6月29日82021年6月29日91.3模糊集的运算论域U上的模糊集A，B，其隶属函数为（1）包含：若对任意x∈U，有，则称A包含B，记为B⊆A；（2）相等：若A⊆B且B⊆A，则称A与B相等，记为A=B；（3）并：（4）交：（5）补：2021年6月
6、29日101.3模糊集的运算例2U={1，2，3，4，5，6，7，8}，2021年6月29日111.4模糊集A的截集设A是一个模糊集，对任意，则普通集合称为A的截集。例3论域U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}(学生集)，他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95，A=“学习成绩好的学生”的隶属度分别为0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95，则A0.9(90分以上者)={u5,u6},A0.6(60分以上者)={u2,u3,u4,u5,u6}。2021年6月29日121.4隶属函数的确定（1）模
7、糊统计法（1）论域U；（2）U中的一个固定元素（3）U中的一个随机运动集合（4）U中的一个以作为弹性边界的模糊子集A，制约着的运动。可以覆盖也可以不覆盖，致使对A的隶属关系是不确定的。特点：在各次试验中，是固定的，而在随机变动。模糊统计试验的四个要素：2021年6月29日131.4隶属函数的确定（1）做n次试验，计算出（2）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为模糊统计试验过程：例：对129人进行调查,让他们给出“青年人”的年龄区间18-2517-3017-2818-2516-3514-2518-3018-3518-35
8、16-2515-3018-3517-3018-2518-35┅┅┅┅┅15-3018-3017-2518-2918-282021年6月29日141.4隶属函数的确定问年龄属于模糊集A（青年人）的隶属度。对年龄27作出如下的统计处理：n10203040506070隶属次数6142331394753隶属频率
