椭圆离心率解法

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1、椭圆离心率的解法椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范围的处理，同学们很茫然，没有方向性。题型变化很多，难以驾驭。以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。一、运用几何图形中线段的几何意义。基础题目：如图，O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交OA于B，P、Q在椭圆上，PD⊥L于D，QF⊥AD于F,设椭圆的离心率为e，则①e=②e=③e=④e=⑤e=DBFOBBBAPQ评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。∵｜AO｜=a,｜OF｜=c,∴有⑤；∵｜AO｜=a,｜BO｜=∴有③。题

2、目1：椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？BAF2F1思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2的中点B，连接BF1,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。解：∵｜F1F2｜=2c｜BF1｜=c｜BF2｜=cc+c=2a∴e==-1变形1：椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，使△OPF1为正三角形，求椭圆离心率？OOOOOOOOOOOOOOOOOOOPF1F2F2F22解：连

3、接PF2,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2=90°图形如上图，e=-1变形2:椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥X轴，PF2∥AB,求椭圆离心率？BAF2F1PO解：∵｜PF1｜=｜F2F1｜=2c｜OB｜=b｜OA｜=aPF2∥AB∴=又∵b=∴a2=5c2e=点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的方程式，推导离心率。二、运用正余弦定理解决图形中的三角形题目2：椭圆+=1(a>b>0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴

4、的一个顶点，∠ABF=90°，求e?FBAO解：｜AO｜=a｜OF｜=c｜BF｜=a｜AB｜=a2+b2+a2=(a+c)2=a2+2ac+c2a2-c2-ac=0两边同除以a2e2+e-1=0e=e=(舍去)变形：椭圆+=1(a>b>0)，e=,A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求∠ABF？点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90°引申：此类e=的椭圆为优美椭圆。性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B1,则ABFB1四点共圆。3、焦点与相应准线之间的距离等于长半

5、轴长。总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e的方程式。题目3：椭圆+=1(a>b>0)，过左焦点F1且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB两点，若｜F1A｜=2｜BF1｜,求e?解：设｜BF1｜=m则｜AF2｜=2a-am｜BF2｜=2a-m在△AF1F2及△BF1F2中，由余弦定理得：两式相除=e=题目4：椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，P是以｜F1F2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF1F2=5∠PF2F1,求e?分析：此题有角的

6、值，可以考虑正弦定理的应用。解：由正弦定理：==根据和比性质：=变形得：====e∠PF1F2=75°∠PF2F1=15°e==点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知e=变形1：椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=60°，求e的取值范围？分析：上题公式直接应用。解：设∠F1F2P=α，则∠F2F1P=120°-αe===≥∴≤e<1变形2：已知椭圆+=1(t>0)F1F2为椭圆两焦点，M为椭圆上任意一点（M不与长轴两端点重合）设∠PF1F2=α,∠PF2

7、F1=β若b>0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，+与=(3,-1)共线，求e?B(X2,Y2)A(X1,Y1)O法一：设A(x1,y1),B(x2,y2)(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0x1+x2=y1+y2=-2c=+=(x1+x2,y1+y2)与（3，-1）共线，则

8、-（x1+x2）=3(y1+y2)既a2=3b2e=法二：设AB的中点N，则2=+①-②得：=-∴1=-(-3)既a2=3b2e=三、由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。题目6：椭圆+=1(a>b>0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，满足1·2=0的点M总