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1、第六章微分方程及其应用本章知识结构导图§6.1微分方程的简介微分方程是一门具有悠久历史的学科,几乎与微积分同时诞生于1676年前后,至今已有300多年的历史了.在微分方程发展的初期,人们主要是针对实际问题提出的各种方程,用积分的方法求其精确的解析表达式,这就是人们常说的初等积分法.这种研究方法一直延续到1841年前后,其历史有160多年.促使人们放弃这一研究方法的原因,归结1841年刘维尔(Liouville1809-1882)的一篇著名论文,他证明了大多数微分方程不能用初等积分法求解.在刘维尔这一工作之后,微分方程进入了基
2、础定理和新型分析方法的研究阶段.如19世纪中叶,柯西等人完成了奠定性工作（解的存在性和唯一性定理）,以及拉格朗日等人对线性微分方程的系统性研究工作;到19世纪末,庞加莱和李雅普诺夫分别创立了微分方程的定性理论和稳定性理论,这代表了一种崭新的研究非线性方程的新方法,其思想和作法一直深刻地影响到今天.微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法.物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的微分方程37,如牛顿的运动定律、万有引力定
3、律、机械能守恒定律,能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨幅趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等,对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的微分方程描述的数学模型的研究.因此,微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学,而且越来越多的应用于社会科学的各个领域.早在十七世纪至十八世纪,微分方程作为牛顿力学的得力助手,在天体力学和其它机械力学领域内就显示了巨大的功能,比如科学史上有这样一件大事足以显示微分方程的重要性,那就是在海王星被实际观测到之前,这颗行星的存在就被天文学家用微分方程的方
4、法推算出来了.时至今日,微分方程在自然科学以及社会科学中越来越表现出它的重要作用.在长期不断的发展过程中,微分方程一方面直接从与生产实践联系的其他科学技术中汲取活力,另一方面又不断以全部数学科学的新旧成就来武装自己,所以微分方程的问题越来越显得多种多样、而方法也越来越显得丰富多彩.在本章,将简要介绍利用微分方程结合实际问题建立数学模型,了解微分方程的基本概念,并研究常见的一阶微分方程与二阶常系数线性微分方程的解法,最后例举几个微分方程在经济领域中的应用例子.§6.2利用微分方程建立数学模型利用数学手段研究自然现象和社会现象,
5、或解决工程技术问题,一般需要先对问题建立数学模型,再对它进行分析求解或近似计算,然后按实际的要求对所得的结果作出分析和探讨.数学模型最常见的表达方式,是包含自变量和未知函数的函数方程,但是很多情形这类方程还包含未知函数的导数（或微分）,它们就是微分方程.本节将介绍几个典型的利用微分方程建立数学模型的例子.37一、种群增长的马尔萨斯（Malthus）模型这里要介绍的种群增长模型是基于理想条件下（无局限的环境,充足养分,无自然灾害）来建立的,于是仅考虑种群增长率只与自然出生率与自然死亡率有关,即种群增长率和种群数量成正比.设时刻
6、的种群个体数量为,种群增长率为导数,现仅考虑自然出生率和自然死亡率对它的影响，则假设种群增长率和种群数量成正比，于是可表示成如下数学模型:(1)其中比例常数,为自然出生率,为自然死亡率,方程（1）是种群增长的最简单模型,即马尔萨斯（Malthus）模型,该模型当然是一个微分方程.下面来求解方程（1）,方程（1）要求找到这样一个函数,它的导数是它本身的常数倍.我们知道指数函数具有这个特点,令,有,即任何形如的指数函数都是方程（1）的解.在§6.3我们将知道方程（1）没有其他解.考虑到实际意义（,）,方程（1）得到解的函数族，图
7、形如图6.1所示.方程（1）是在理想条件下的种群增长模型,它只能反映种群增长初期的增长情况,当种群数量接近承载能力时,增长率会下降,这是因为在自然界上各种自然资源会对种群的增长进行限制与影响,下面我们来介绍另一个更能如实反映种群增长的模型.二、种群增长的逻辑斯谛（Logistic）模型（2）其中为比例常数,为种群承载能力（即表示自然环境条件下所能容许的最大种群数）.方程（2）称为逻辑斯谛（Logistic）模型,当然也是一个微分方程,它是荷兰数学生物学家韦尔侯斯特（Pierre-FrancoisVerhulst）在19世纪4
8、0年代提出的世界人口增长模型.37关于方程（2）的求解详见§6.4,现在直接从方程（2）定性分析它的解.首先常量函数和都是方程的解,这两个解称为平衡解（从实际含义上可以解释为:如果种群数量为或达到承载能力时,种群数量不再变化）;然后如果初始种群数量在与之间,则种群增加,如果种群数量超过了承
