反函数的概念

反函数的概念

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1、反函数的概念在某变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值,按照某个对应法则f,y都有唯一确定的实数值与它对应,那么y就是x的函数,记作y=f(x),x∈D,x叫做自变量,y叫做因变量,x的取值范围D叫做函数的定义域,和x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.函数的概念一般地,对于函数y=f(x),设它的定义域为D,值域为A.如果对A中任意一个值y,在D中总有唯一确定的x值与它对应,且满足y=f(x),这样得到的x关于y的函数叫做y=f(x)的反函数,记作x=f-1

2、(y).反函数的概念y=f-1(x)(xA)求反函数的步骤:(1)由y=f(x)解出x=f-1(y);(2)求出y=f(x)的值域A(y∈A);(3)写成y=f-1(x)(xA).(1)例1、求下列函数的反函数(2)(3)(4)(且)例2(1)函数有没有反函数?(2)求函数的反函数.例3若函数,求的值.设函数,的图像与其反函数的图像重合,求的解析式.例4互为反函数图像的关系函数与函数的图像关于直线y=x对称.证明如下:在函数y=f(x)的图像上任意取一点A,设点A的坐标为(a,b).则b=f(a).由反函数的定

3、义可知:a=f-1(b),∴点B(b,a)在函数y=f-1(x)的图像上.而点A与点B关于直线y=x对称,故函数y=f(x)与函数y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称.已知函数, 判断与是否是同一函数.例5(1)反函数是函数,反函数与原函数是相对的;小结:(2)求反函数的三个步骤;(3)开平方时注意符号的选择;(4)互为反函数的图像关于直线y=x对称;(5)正确理解记号f-1(x).(1)已知,求f(x);例6(2)求函数的反函数.已知和其反函数图像都经过点(1,4),求a、b的值.例7a=-3,b=7已知函数

4、yf(x)与反函数的图像与直线分别交于点,求的值.例8已知函数,函数y=g(x)的图像与函数的图像关于直线y=x对称,求g(5)的值.例9(1)如果一个函数是奇函数,是否一定存在 反函数?例10、回答下列问题:(2)如果一个函数是偶函数,是否一定没有 反函数?(3)如果一个函数是单调函数,是否一定有 反函数?(4)如果一个函数不是单调函数,是否一定 没有反函数?设函数,则 函数的图像是()例1111xyO11xyO11xyO11xyO(A)(B)(C)(D)B已知yf(x)为奇函数,当,设f(x)的反函数

5、是yg(x),求g(8)的值.例12g(-8)=-2函数有反函数,当满足什么要求时,方程有解x=0,且?例13

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