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1、平面解析几何中的对称问题李新林汕头市第一中学515031对称性是数学美的重耍表现形式之•一，在数学学科中对称W题无处不在。在代数、三角中冇对称式闷题；在立体几何屮有屮对称问题对称体；在解析几何屮有图象的对称问题。深入地研究数学屮的对称问题有助于培养学生分析解决问题的能力，有助于提高学生的数学索质。在平而解析儿何中，对称闷题的存在尤其齊遍。平而解析儿何中的对称H题在商考试题中更是屡见不鲜。本文将对平而解析儿何中的儿种常见对称问题作一些肤浅的探讨，以求斧正。平凼解析几何屮的对称M题主要有如下几种：点关于点的对称问题简称点点对称；点关于直线的对称问题简称点线对称；曲线关
2、于点的对称问题简称线点对称：曲线关于直线的对称问题简称线线对称。一、点点对称定理1平面上一点M（x,y）关于点P（x0，>，0）的对称点为M'（2%o-x,2yo->0>特别地，点似0，力关于点P（0,0）的对称点为（-X，一），）。证明：显然PCr0，y0）为线段中点，没似乂又，｝），由中点坐标公式有：•»_X+X、°2.，即,故Al’（2x0-x，2;y0-y）。、._2±）Lb=2>'o-y例1若点4关于点fi（—2，1）的对称点为C（4,2）,求点4的华.标。解:设A（x，）’），由定理1有A（2x（—2）-4,2xl—2），即A（—8,0）。二、点线对称
3、定理1平而上一点M（x。，），。）关于直线/:Av+Sy+C=0，（A2+B2关0）的对称点为:2A(Av0+ByQ+C)A2+B2，）’o_2,A(Ax^++C)A2+fi2证明:先证明一般情况,即A关0,5关0的情况。如阁（一），设线段MM'交直线/于点，由点似与点似0；，/）关于直线/对称，故为线段的屮点且胃’丄/，于是有：x0+X2:+y2)’o-yx0-x又点（20^，；^）在直线/上，故有:a.^+b.A±2+c=o22BUx{)-x解此二元一次方程纽得:X=x02A(Ax0+By()+C)A2+B22A(Ax()+By0+C)A2+S22A(Ax()
4、+ByQ+C)2A(Ax()+By0+C)A2+B23?oA2+S2至于A=0，S关0与A关0,5=0的情况比较简单，证明略。特别地，有如下几种特殊情况：（1）平面上一点A/Cr0，），0）关于x轴的对称点为：（义0，一八）；（2）平而上一点关丁•y轴的对称点为：（-x0,y0）；（3）平面上一点A/（x0，y0）关于直线a:=“的对称点为：（2tz-x0，y0）:（4）平面上一点A/（xo，）’o）关于直线y=&的对称点为：（x0,2Z?—y0）;（5）平面上一点A/OoJo）关于直线y=A：的对称点为：（＞’0，义0）;（6）平而上一点A/（x0，＞’0）关于
5、直线＞’二一％的对称点为：（一y0,一又0）;（7）平趾上一点似（％0，）’0）关于直线y=x+Z?的对称点为：（y0-b,xQ+b）:（8）平面上一点关于直线＞，二一又+/?的对称点为：（-y0-b-x{}+/?）特别地，点A1（x，y）关于点P（0,0）的对称点为M'（-X,—＞，）若直线x+y+Z=0,与椭岡C:xf0)-0)-=1erb一有公共点,则有：(Aa)2+(Bb)2>(Axq+By0+C)22,2证明：由―+—=1可令x='+acos沒，y=y0+bsinda~b~代入/:Ax+By+C=0,(A2+B2其0)得：A(x0+tzcos汐)+B(y
6、0+/?sin沒)+C=0整理得：Af/cos汐+BbsinO=-(A%0+By0+C)即：y](Aa)2+(Bb)2sin(6>+^)=-(>4x0+fiy0+C)，(其巾^为辅助角)又
7、sw+^)
8、(Ax0+By0+C)2特别地，当x0=0,y0=0时，有22推论1若直线/:Ax+By+C=0，(+5-矣0)与椭圆C:—7+2y=l冇公井点，则冇：eTb~(Aa)2+(Bb)2>C2对于定理丨，若令a=b=r，则有定理2若直线/:Av+By+C=0，(A2+fi2关0)与阀C:(x-x0)2
9、+(y-y0)2=r2有公共点，则有：(Ar)2+(Br)2>(/lx0+By0+C)2,整理得r2(A2+B2)>(Ax0+By0+C)2特别地，当x0=0,y0=0时，有推论2若:直线/:Ar+5)’+C=0，(A2+B2关0)与阀C:x2+)，2=r2有公共点，则有：r2(A2+B2)>C2下而略举数例说明;tt:应用。一、求点到直线的距离例1求点？(％，％)到直线/:Ax+By+C=0，(A2+B2关0)的距离。解：设点P(x0，>，0)到直线/:Ar+By+C=0，(A2+B2关0)的距离为构造以点P(x0，y0)为圆心,r为半径的动圆C:(x—x0)2
10、+(y-y
