高数课后答案--第1章

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1、第一章函数、极限、连续习题1-11．求下列函数的自然定义域：(1)；(2)(3)；(4).解(1);(2);(3);(4).2．已知函数定义域为，求的定义域．解：（1）若，定义域为：；（2）若，定义域为：；（3）若，定义域为：．3．设求函数值．解：，．4.证明下列不等式:(1)对任何有;(2)对任何有;(3)对任何及实数有.证明：略5.试将下列直角坐标方程化为极坐标方程，而把极坐标方程化为直角坐标方程:(1);(2);(3);(4).解：(1)；(2)；(3)；(4)6．判断下列各组函数中的与是否为同一函数？说明理由！(1)；(2)；(3);12(4)；解：(1)是；(2)不是，因

2、为定义域不同；(3)不是，因为定义域不同；(4)不是，因为定义域不同．7．试确定下列函数的单调区间：(1)；(2)；(3).解：(1)函数的定义域为，此时，函数单调递减，也是单调递减，则在内也是递减的．(2)函数的定义域为，而在及上单调递减，故是在其定义域单调递减．(3)函数的定义域为，在函数是单调递减的，在函数是单调递增的.8.判定下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4).解：(1)因为定义域为关于原点对称，且，所以是偶函数．(2)因为定义域为关于原点对称，且，所以是奇函数．(3)因为定义域为关于原点对称，且，所以是偶函数．(4)虽然定义域为关于原点对称，但，所以是非奇非

3、偶函数．9．设是定义在上的任意函数，证明：(1)是偶函数，是奇函数；(2)可表示成偶函数与奇函数之和的形式.证明：略10．判断下列函数是否是周期函数？若是，指出其最小正周期：(1)；(2)(3)；(4).解：(1)周期函数，最小正周期为；(2)不是周期函数；12(3)周期函数，最小正周期为；(4)周期函数，最小正周期为．11．求下列函数的反函数：(1)；(2)．解：(1)依题意，，则，所以反函数为．(2)依题意，，所以反函数为12．试判断下列函数由哪些基本初等函数复合而成：(1)；(2)；(3)；(4)．解：(1)由复合而成；(2)由复合而成；(3)由复合而成；(4)由复合而成；1

4、3．设，求与，并作出函数图形．解：图略。14．在一圆柱形容器内倒进某种溶液，该容器的底半径为，高为．当倒进溶液后液面的高度为时，溶液的体积为．试把表示为的函数，并指出其定义区间．解：依题意有，则．15．收音机每台售价为90元，成本为60元．厂方为了鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购1台，售价就降低1元，但最低价为每台75元．(1)将每台的实际售价表示为订购量的函数；(2)将厂方所获的利润表示成订购量的函数；(3)某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？解：依题意有(1)；12(2)；(3)元习题1-21．设，(1)求的值；(2)求，使当时，不等式成立

5、；(3)对实数，求，使当时，不等式成立．解：(1)．(2)要使即，则只要取N故当n>N时，不等式成立．(3)要使成立，只要，即取，那么当时，成立.2．当时，．问等于多少，使当时，？解：令，则，要使，只要，所以取，使当时，成立．3．当时，．问等于多少，使当时，？解：要使<0.001,只要,即就可以了,所以取．124．根据极限的定义证明：(1)（为常数）；　(2)；(3)；(4)；　　　(5).证明：略5．用或语言，写出下列各函数极限的定义：(1)；　　　　　(2)；(3)；　　　　　(4)．解:(1),当时,总有;(2),当,总有;(3),当时,总有;(4)当时,总有．6．若证明．并

6、举例说明：如果数列收敛，但数列不一定收敛．证明:略7．对于数列，若，，证明：．证明:略8．证明：若，，则．证明:略习题1-31．求下列极限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)；(11)；(12)；(13)；(14)；12(15)；(16)．解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)；(11)=．(12);(13);(14);(15);(16)．2．设函数,试讨论是否存在？解：因为，即，所以存在．3．设　若极限存在，则等于什么?解：即时，存在．4．已知，其中为常数，求和的值．解：因为，所以，则．．

7、习题1-41．计算下列极限：(1)；(2)；(3)；(4)．解：(1)；(2)；(3)；(4)2．计算下列极限(1)；(2)；(3)；(4)；(5)（为不等于零的常数）．解：(1)；(2)；(3)；(4)(5)12习题1-52．计算下列极限：(1)；(2)；(3)；(4)．解：(1)因为在上有界，，由定理3知；(2)因为在上有界，，由定理3知；(3)因为在上有界，，由定理3知；(4)因为在上有界，，由定理3知5．利用等价无穷小的性质，求下列极限：(1)；(2)（是不为