展看经典悖论周游

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1、展看经典悖论周游古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来很多思想家和喜好者的注重力。解决悖论困难需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。　　本文将根据悖论形成的原因，粗略地把它回纳为六种类型，分上、中、下三个部份。这是第一部份：由概念自指引发的悖论和引进无穷带来的悖论（一）由自指引发的悖论　　以下诸例都存在着一个概念自指或自相关的新题目：假如从肯定命题进手，就会得到它的否定命题；假如从否定命题进手，就会得到它的肯定命题。１－１谎言者悖论　　公元前六世纪，哲学

2、家克利特人艾皮米尼地斯（Ｅｐｉｍｅｎｉｄｅｓ）：“所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。”这就是这个著名悖论的。　　《圣经》里曾经提到：“有克利特人中的一个本地中先知说：‘克利特人常说谎话，乃是恶兽，又馋又懒’”（《提多书》第一章）。可见这个悖论很出名，但是保罗对于它的逻辑解答并没有喜好。　　人们会问：艾皮米尼地斯有没有说谎？这个悖论最简单的形式是：１－２“我在说谎”　　假如他在说谎，那么“我在说谎”就是一个谎，因此他说的是实话；但是如果这是实话，他又在说谎。矛盾不可避免。它的一个翻版：１－３“这句话是错的”　　这类悖论的

3、一个标准形式是：假如事件Ａ发生，则推导出非Ａ，非Ａ发生则推导出Ａ，这是一个自相矛盾的无穷逻辑循环。拓扑学中的单面体是一个形像的表达。　　哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论，并试图找到解决的办法。他在《我的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道：“自亚里士多德以来，无论哪一个学派的逻辑学家，从他们所公认的条件中似乎都可以推出一些矛盾来。这表明有些东西是有毛病的，但是指不出纠正的方法是什么。在１９０３年的春季，其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。”　　他说：谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾：“那个说谎的人说：‘

4、不论我说什么都是假的’。事实上，这就是他所说的一句话，但是这句话是指他所说的话的总体。只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。”（同上）　　罗素试图用命题分层的办法来解决：“第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命题；第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题；其余仿此，以至无穷。”但是这一方法并没有取得成效。“１９０３年和１９０４年这一整个时期，我差未几完全是致力于这一件事，但是尽不成功。”（同上）　　《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的条件下推导出来的，并且使用逻辑术语说明概念，回避自然语言的歧意。但

5、是他在书的序言里称这是：“发表一本包含那么很多未曾解决的争论的书。”可见，从数学基础的逻辑上彻底地解决这个悖论并不轻易。　　接下来他指出，在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”，就是说，“它包含讲那个总体的某种东西，而这种东西又是总体中的一份子。”这一观点比较轻易理解，假如这个悖论是克利特以为的什么人说的，悖论就会自动消除。但是在集合论里，新题目并不这么简单。１－４理发师悖论　　在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他：“你给不给自己理发？”理发师顿时无言以对。　　这是一个矛盾推理：假

6、如理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人。有言在先，他应该给自己理发。　　反之，假如这个理发师给他自己理发，根据招牌所言，他只给村中不给自己理发的人理发，他不能给自己理发。　　因此，无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛盾。这个悖论是罗素在一九○二年提出来的，所以又叫“罗素悖论”。这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。显然，这里也存在着一个不可排除的“自指”新题目。１－５集合论悖论　　“Ｒ是所有不包含自身的集合的集合。”　　人们同样会问：“Ｒ包含不包含Ｒ自身？”假如不包含，由Ｒ的定义，Ｒ应属于Ｒ。假如Ｒ包含自身的话，

7、Ｒ又不属于Ｒ。　　继罗素的集合论悖论发现了数学基础有新题目以后，１９３１年歌德尔（KurtGodel，１９０６－１９７８，捷克人）提出了一个“不完全定理”，打破了十九世纪末数学家“所有的数学体系都可以由逻辑推导出来”的理想。这个定理指出：任何公设系统都不是完备的，其中必然存在着既不能被肯定也不能被否定的命题。例如，欧氏几何中的“平行线公理”，对它的否定产生了几种非欧几何；罗素悖论也表明集合***理体系不完备。１－６书目悖论　　一个图书馆编辑了一本书名词典，它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。那么它列不列出自己的书名？　　这个

8、悖论和理发师悖论基本一致。１－７苏格拉底悖论　　有“西方孔子”之称的雅典人苏格拉底（Ｓｏｃｒａｔｅｓ，公元前４７０－前３９９）是古希腊的大哲学家，曾经和普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名狡辩家相对。他建立“定义”以对付狡辩派混淆的修辞，从而勘落了百家的杂说