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1、习题一卜1.质点运动学方程为：F=“cos(69Z)r+6Zsin(69/)y+/?/£，其中a，b,69均为正常数，求质点速度和加速度与时间的关系式。分析：由速度、加速度的定义，将运动方程对时间t求一阶导数和二阶导数，可得到速度和加速度的表达式。解：v=dr/dt=-aeosin(a)t)7+aeocos(cot)jbkci=dv/dt=-aeo2[cos(做)7+sin⑽)7]1-2.一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即dv/df二-/rz/,式屮A
2、为常量.试证明电艇在关闭发动机后又行驶％距离时的速度为。其中％是发动机关闭时的速度。分析：要求v=v(x)可通过积分变量替换==积分即可求得。dtdx证：dvdvdxdtdxdtv竺=-Kfdxv=y-KvKdxIn—Kx1-3.一质点在xOy平面内运动，运动函数为X=2f，y=4Z2-8。(1)求质点的轨道方程并画出轨道曲线；(2)求t=ls和t=2s时质点的位置、速度和加速度。分析：将运动方程x和y的两个分量式消去参数t，便可得到质点的轨道方程。写出质点的运动学方程表达式。对运动学方程求一阶导、二阶导得[(
3、f)和把时间代入可得某时刻质点的位賈、速度、加速度。解：（1）由x=2z，得：t=x/r代入y=4z2—8可得：y=x2-8,即轨道曲线。画图略(2)质点的位置可表示力：r=2z?+(4z2-8)7由P=6/?/t/Z则速度：v=2i+Stj由5=6/P/冰则加速度：a=8j则:当t=ls时,Wr=27-4;,v=21+8;,5=8;当t=2s时,有F=4/+8j’，v=2i+16y,a=871-4.一质点的运动学方程为1=（2,y=（Z-l）2,x和y均以m为单位，t以s为单位。（1）求质点的轨迹方程；(2)
4、在Z=2s时质点的速度和加速度。分析同1-3.解：(1)由题意可知：x彡o,y彡0,由x=z2,,可得，=士，代入.y=(r—I)2整理得：即轨迹方程(2)质点的运动方程可表示为：r=r/+(Z-l)27贝ij:v=dr/dt=2tJ^-2(t-)Ja=dv/dt=2i+2j因此，当，=2j时,有v=47+2j(m/5)，a=2i+2j(m/s2)1-5.一质点沿半径为R的圆周运动，运动学方程为s=-丄汾2,其中vu，b都是常量。2(1)求t时刻质点的加速度大小及方向；(2)在何时加速度大小等于b;(3)到加
5、速度大小等于b时质点沿圆周运行的圈数。分析：由质点在自然坐标系下的运动学方程=求导可求出质点的运动速率V=-;;，.，了dvv因而，aT=一，a“=-dt,5=6frf0+,a-yjaj+a^，当“=Z?时，可求出t，代解：(1)速率：v=%z=vn—汾，且-b27TR入运动学方程5,=，可求得Cl=b时质点运动的路程，——即为质点运动的圈数加速度：a=^f^—n,=-bf^(V°~/°2-atpR则大小：ci=y[a2T+a2n•①(v0-Z?，)2bR(2)当a=b时，由①可得：Z=v-b(3)当a=b时，
6、r=4,RA.v=v()z--Z?z2,«I^：s=¥b22b则运行的阁数TVVo227rR47TbR1-9.汽车在半径为400m的圆弧弯道上减速行驶，设在某一时刻，汽车的速率为lOnvs'切向加速度的大小为0.2m.s_2。求汽车的法向加速度和总加速度的大小和方向。分析：由某一位置的；？、v求出法句加速度6/,,，再根据己知切向加速度6~求出6Z的大小和方向。解：法向加速度的大小％总加速度的大小v210:p400=0.25(m/52),方向指向圆心a=7<+«27=血22+0.25了=0.32(^/52)如图
7、1-9,tan^=-^=0.8,6r=38°40,,an则总加速度与速度夹角汐=90G+a=128。40•1-10.质点在重力场巾作斜上抛运动，初速度的大小为％，与水平方向成汉角.求质点到达抛出点的同一高度时的切向加速度，法向加速度以及该时刻质点所在处轨迹的曲率半径（忽略空气阻力）.已知法向加速度与轨迹曲率半径之间的关系为人=v2!p.分析：运动过程巾，质点的总加速度=g。由于无阻力作川，所以回落到抛出点高度时质点的速度大小P=其方向与水平线夹角也是汉。可求出&，如图1-10。再根据关系解：切向加速度法向加速度
8、v2因^=_Pan=v2/p求解。aT=gsingan=gcosaV2vl•••p=——=——-—angcosa1-13.离水面高为h的岸上有人用绳索拉船靠岸，人以恒定速率V。拉绳子，求当船离岸的距离为s时，船的速度和加速度的大小。分析：收绳子速度和船速是两个不同的概念。小船速度的方叫为水平方昀，由沿绳的分量与垂直绳的分量合成，沿绳方向的收绳的速率恒为％。可以由％求出船速V和垂直绳的分
