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1、《离散数学(本)》辅导(1)【第一篇集合论：1.集合与其运算2.关系与函数】第1章集合及其运算一、主要内容1．集合的概念h集合与元素——具有确定的，可以区分的若干事物的全体称为集合，其中的事物叫元素．集合的元素不能重复出现，集合中的元素无顺序之分.集合与其元素之间存在属于“Δ或不属于“Ï”关系.集合A中元素的个数为集合的元数，记作½A½．h集合的表示方法列举法是列出集合的所有元素，并用花括号括起来．例如={}，N={0,1,2,3,…}．描述法是将集合中元素的共同属性描述出来．例如B={}，D={是正整数}．文氏图法是用一个简单的平面区域表示一个集合，用区域内的点表示集合内的
2、元素．2．集合的关系h包含(子集)——若对任一，都有，则称B包含A(或A包含于B)，称A是B的子集，记；又若A¹B，则称A是B的真子集，记AÌB．h集合相等——若AÍB，BÍA，则A＝B.注意：要正确理解元素与集合、集合与子集、子集与幂集、Î与Ì(Í)、空集Æ与所有集合等的关系．3．特殊集合h全集合E——在一个具体问题中，所涉及的集合都是某个集合的子集，该集合为全集．h空集Æ——不含任何元素的集合为空集，空集是惟一的，它是任何集合的子集．h集合A的幂集P(A)——集合A的所有子集构成的集合称为A的幂集，记作P(A)=.若½A½＝n，则½P(A)½=2n.4．集合的运算h集合A和
3、B的并AÈB——由集合A和B的所有元素组成的集合．h集合A和B的交AÇB——由集合A和B的公共元素组成的集合．h集合A的补集~A——属于E但不属于集合A的元素组成的集合，记作~A．补集总相对于一个全集．h集合A与B的差集A－B——由属于A，而不属于B的所有元素组成的集合..h集合A与B的对称差记作AÅB＝(A－B)È(B－A)，或AÅB＝）AÈB〕－（AÇB）要熟练掌握运算的性质(运算律)，即交换律、结合律、分配律、幂等律、同一律、零律、补余律、吸收律、摩根律和双补律等．5．恒等式证明14集合运算部分有三个方面的问题：其一是进行集合的运算；其二是集合运算式的化简；其三是集合恒等
4、式的推理证明.集合恒等式的证明方法通常有二：(1)要证明A＝B，只需要证明AÍB，又AÊB；(2)通过运算律进行等式推导．6．有限集合的计数方法首先根据已知条件把对应的文氏图画出来，然后将已知集合的元素填入表示该集合的区域内．通常从几个集合的交集填起，根据计算结果将数字逐步填入所有的空白区域内．如果交集的数字是未知的，可以将其设为x，再根据已知条件列出方程或方程组，解出未知数x．也可以用容斥定理计算有限集合的元素个数．定理1.2.2（容斥定理）对任意两个有限集合A和B，有=+-其中，分别表示A，B的元素个数．定理1.2.2的推广结论：对于任意三个有限集合A,B,C，有=++--
5、-+二、实例例1已知S＝{2,a,{3},4}，R={{a},3,4,1}，判断下列各题是否正确：.(1){a}ÎS;(2){a}ÎR;(3){a,4,{3}}ÍS;(4){{a},1,3,4}ÍR;(5)R=S;(6){a}ÍS(7){a}ÍR(8)ÆÌR(9)ÆÍ{{a}}ÍR(10){Æ}ÍS(11)ÆÎR(12)ÆÍ{{3},4}解集合S有四个元素：2，a，{3}，4，而元素{3}又是集合；集合R类似．(1)错．因为{a}是单元素的集合，{a}不是集合S的元素，所以“{a}ÎS”是错的．(2)对．因为{a}是R的元素，所以“{a}ÎR”是正确的．(3)对．因为a,4,{
6、3}都是S的元素，以此为元素构成的集合是S的子集．所以“{a,4,{3}}ÍS”是正确的．(4)对．因为{a},1,3,4都是R的元素，以此为元素构成的集合是R的子集，所以“{{a},1,3,4}ÍR”是正确的．(5)错．因为元素2ÎS，但2ÏR，所以S¹R．(6),，和题号的命题真值为1；而,,题号命题真值为0．(7)错．因为{a}是集合R的元素，元素与集合之间不能用“Í”，正确的表示为：{a}ÎR．(8)对．因为空集Æ是任意集合的子集。(9)对．因为Æ是集合{{a}}的子集，{{a}}是集合R的子集，所以ÆÍ{{a}}ÍR是正确的。(10)错．因为Æ不是集合S的元素，所以由
7、空集Æ构成的集合不是S的子集，即{Æ}ÍS是错的．14(11)错．因为Æ不是集合R的元素，所以ÆÎR是错的．(12)对．因为空集Æ是任意集合的子集。例2写出下列集合的子集：(1)A={a，{b}，c}；(2)B={Æ}；(3)C=Æ解(1)因为Æ是任何集合的子集，所以Æ是集合A的子集；由A的任何一个元素构成的集合，都是A的子集，所以{a}，{{b}}，{c}是A的子集；由A的任何两个元素构成的集合，也是A的子集，即{a，{b}}，{{b},{c}}，{a,c}；同理，A的三个元素构成的集合，
