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1、习题二解答1.利用导数定义推出:nn−1⎛⎞111)(zn)'==zn,(是正整数;)2)⎜⎟'−。2⎝⎠zznnnn()zzz+∆−−122n−−n1n−1证1)()'limzn==lim(z+Cz∆z+?∆z)=nzn∆→zz00∆z∆→11−⎛⎞11zzz+∆12)⎜⎟'l==im−=lim−2⎝⎠zzz∆→zz00∆+∆→()z∆zz2.下列函数何处可导?何处解析?233(1)f()z=x−iy(2)f()2zxy=+3i22(3)f()z=xy+ixy(4)f()sinchicossh
2、zx=yx+y∂u∂u∂v∂v解(1)由于=2x,=0,=0,=−1∂x∂y∂x∂y1在z平面上处处连续,且当且仅当x=−时,u,v才满足C-R条件,故f()z=u+iv=x−iy仅在21直线x=−上可导,在z平面上处处不解析。2∂u2∂u∂v∂v2(2)由于=6x,=0,=0,=9y∂x∂y∂x∂y22在z平面上处处连续,且当且仅当23,230xyxy=即±=时,u,v才满足C-R条件,故33f()zuvxy=+=+i23i仅在直线230xy±=上可导,在z平面上处处不解析。∂u2∂u∂v∂v
3、2(3)由于=y,=2xy,=2xy,=x∂x∂y∂x∂y22在z平面上处处连续,且当且仅当z=0时,u,v才满足C-R条件,故f(z)=xy+ixy仅在点z=0处可导,在z平面处处不解析。∂u∂u∂v∂v(4)由于=coschxy,=sinshxy,=−sinshxy,=coschxy∂x∂y∂x∂y在z平面上处处连续,且在整个复平面u,v才满足C-R条件,故f()sinchicosshzx=yx+y在z平面处处可导,在z平面处处不解析。3.指出下列函数f()z的解析性区域,并求出其导数。53
4、1)(1z−);(2)zz+2i;1azb+3);(4)(,cd中至少有一个不为0)2z−1czd+4解(1)由于fz′()=−5(z1),故f(z)在z平面上处处解析。2(2)由于f′()z=3z+2i,知f()z在z平面上处处解析。−2z2z(3)由于f′()z==−()22z−12z+12z−1()()知f()z在除去点z=±1外的z平面上处处可导。处处解析,z=±1是f(z)的奇点。1ad−bc(4)由于fz′()=,知f(z)在除去zdc=−≠/(0)c外在复平面上处处解析。2()cz
5、d+5.复变函数的可导性与解析性有什么不同?判断函数的解析性有那些方法?答:f()z在D(区域)内解析f()z在D内可导f()z在z解析f()z在z可导00f()z在z连续0判定函数解析主要有两种方法:1)利用解析的定义:要判断一个复变函数在z是否解析,只0要判定它在z及其邻域内是否可导;要判断该函数在区域D内是否解析,只要判定它在D内是否0可导;2)利用解析的充要条件,即本章§2中的定理二。6.判断下述命题的真假,并举例说明。(1)如果f()z在z点连续,那么f′(z)存在。00(2)如果f′
6、()z存在,那么f()z在z点解析。00(3)如果z是f()z的奇点,那么f(z)在z不可导。00(4)如果z是f()z和gz()的一个奇点,那么z也是f(zgz)+()和f(zgz)/()的奇点。00(5)如果uxy(,)和vxy(,)可导(指偏导数存在),那么f()zuv=+i亦可导。(6)设f()zuv=+i在区域内是解析的。如果u是实常数,那么f()z在整个D内是常数;如果v是实常数,那么f()z在整个D内是常数;解222(1)命题假。如函数f()z=
7、z
8、=x+y在z平面上处处连续,除
9、了点z=0外处处不可导。2(2)命题假,如函数f()z=
10、z
11、在点z=0处可导,却在点z=0处不解析。(3)命题假,如果fzz()在点不解析,则称为zfz()的奇点。如上例。00(4)命题假,如f()sinch,()icosshzx==ygzxy,z=(/2,0)π为它们的奇点,但不是f()zgz+()的奇点。2(5)命题假。如函数f()z=zRez=x+ixy仅在点z=0处满足C-R条件,故f()z仅在点z=0处可导。(6)命题真。由u是实常数,根据C-R方程知v也是实常数,故f()z在整个D
12、内是常数;后面同理可得。7.如果f()z=u+iv是z的解析函数,证明:22⎛∂⎞⎛∂⎞2⎜
13、f()z
14、⎟+⎜⎜
15、f()z
16、⎟⎟=
17、f'()z
18、⎝∂x⎠⎝∂y⎠22证
19、f()z
20、=u+v,于是2∂u∂v∂u∂vu+vu+v∂()∂x∂x∂∂y∂y
21、fz
22、=,
23、f()z
24、=∂xu2+v2∂yu2+v2由于f()z=u+iv为解析函数,故∂u∂v∂u∂v=,=−,∂x∂y∂y∂x从而22⎡22⎛∂⎞⎛∂⎞12⎛∂u⎞2⎛∂v⎞⎜
25、f()z
26、⎟+⎜
27、f()z
28、⎟=⎢u⎜⎟+u⎜−⎟⎜⎟22⎝∂x⎠⎝∂