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1、线性代数讲义第一讲基本概念1．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为:a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,…………am1x1+am2x2+…+amnxn=bm,其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2,…,kn)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数xi都用ki替代时都成为等式.线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解
2、.b1=b2=…=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组.n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量(1)基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.由m´n个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个m´n型矩阵.例如2-101111102254-29333-18是一个4´5矩阵.对
3、于上面的线性方程组,称矩阵a11a12…a1na11a12…a1nb1A=a21a22…a2n和(A
4、b)=a21a22…a2nb2…………………am1am2…amnam1am2…amnbm为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.48由n个数构成的有序数组
5、称为一个n维向量,称这些数为它的分量.书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2,¼,an的向量可表示成a1(a1,a2,¼,an)或a2,┆an请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1´n矩阵,右边是n´1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个m´n的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量;每一列是一个m维向量,称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A的列向量组为a1,a2,¼,an时(它们都是表示
6、为列的形式!)可记A=(a1,a2,¼,an).矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为0的向量称为零向量,通常也记作0.两个向量a和b相等(记作a=b),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.(2)线性运算和转置线性运算是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.加(减)法:两个m´n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m´n矩阵,记作A+B(A-B),法则为对应元素相加(减).数乘:一个m´n的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为m´n的矩阵,记作cA,法则为A的每个元素乘c.这两种运算统称为线性运算,它们满足
7、以下规律:①加法交换律:A+B=B+A.②加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C).③加乘分配律:c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA.④数乘结合律:c(d)A=(cd)A.⑤cA=0Ûc=0或A=0.转置:把一个m´n的矩阵A行和列互换,得到的n´m的矩阵称为A的转置,记作AT(或A¢).有以下规律:①(AT)T=A.②(A+B)T=AT+BT.③(cA)T=cAT.转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了.当a是列向量时,aT表示行向量,当a是行向量时,aT表示列向量.
8、向量组的线性组合:设a1,a2,…,as是一组n维向量,c1,c2,…,cs是一组数,则称c1a1+c2a2+…+csas为a1,a2,…,as的(以c1,c2,…,cs为系数的)线性组合.n维向量组的线性组合也是n维向量.48(3)n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵:对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵:对角线上的的元素都为
9、1的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵:对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是cE.上三角矩阵:对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵:对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵:满足AT=A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总
