巧用转化思想解数学题

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1、巧用转化思想解数学题四川省广元市宝轮中学唐明友一些数学问题，如果采用常规解法比较繁杂，或者“此路不通”，不妨换个角度思考，努力寻找解决问题的突破口，有时就因为转换了思维角度，巧用转化思想，使你走向了顺利解决问题的“康庄大道”。请同学们欣赏儿例。一.运动向静止转化角度例1.小强跟随爸爸去淸江河游泳时忽发奇想，他要测水流速度，爸爸高兴地说愿意协助。方法是这样的：他在A处放下一个空矿泉水瓶，让它向下游漂流，小强向上游泳10分钟，立即转身原路去追赶矿泉水瓶，结果在距A处下游0.5千米的B处追上。据此小强心算便得出了水流速度，你知道小强是怎么算的吗？解法1:设河水的流

2、速为x千米/时，小强游泳的速度为y千米/时，则小强向上游泳的距离是U(y-x)千米，转身向下游泳去追矿泉水瓶所走的路程是60(―-—)(x+y)千米。由题意列出方程：x6010.、丄agf1()、f丄、—(y—x)+0.5=(————)(x+y)60x60去分母得x(y—x)+3x=(3—x)(x+y)整理得2xy=3y•••y判,Ax=1.5,即河水的流速是1.5千米/吋。解法2:假定小强在游泳池里游泳，水不会流动，向上游泳10分钟再转身回追矿泉水瓶，矿泉水瓶应在原处，这样小强来回共游了2x1=!小时。由于矿泉603水瓶在顺水漂流，它向下漂流的0.5千米是

3、在这1小时内完成的。仍设河水的流速3为x千米/时，则—x=0.5,5(千米/时)点评：由于小强很快得到了答案，显然不是按解法1，而是转换了思维角度，按解法2将运动的河水看成静止的，即物理学上将河流作为参照物，相当于河水不流动只是人在运动，这样，可使问题一下子简明起来，这是小强活学活用数理知识的典型例子。二.局部向整体转化角度例2.己知有三个数，其中任意两个数相加所得的和分别是39、44、47,求这三个数。解法1:设这三个数分別是x、y、z,则x+y=39x=21<)’+z=44，角军得

4、2:设这三个数的和是a,根据题意得：2a=39+44+47,解这个方程得：a=65,所以这三个数分别是:65-39=26,,65—44=21,65—47二18.点评：解法1是直接设元列出三元一次方程组解，解法2运用整体思想列出一元一次方程解，显然耍简单得多。因此，有些数学问题，如果盲目进入局部探索，问题会复杂化，此时若能换一个角度，从整体上把握方向，常会找到问题的简明解法。一.常规向模型转化角度例3.解方程组:2000x-17y=20002——(1)2011x-17^=20112——(2)解法1:(2)—(1)得：llx=20112—20002解之得：x=4

5、011把x=4011代入(1)得:2000X4011-17y=200022000x4011-200024022000y==1717%=4011所以，原方程租的解为：4022000y=[17丄f20002-2000x+17^=0解法2:原万程可化为：，7^20112-2011x+17y=0可得2000、2011是一元二次方程m2—mx+17y=0的W个根，由根与系数的关系有：x=2000+2011=4011,17y=2000X2011,即y=402200017点评：前一种解法运算量大II繁杂。观察方程的特点，两个方程的形式相同,类比“模型”一元二次方程m2-m

6、x+17y=0,再运用根与系数的关系轻松获得解决。观察、联想、类比，将问题转化为数学模型，是解决这类问题的常用思路。Ui向“形”转化角度例4.若代数式

7、x+2

8、+

9、x-3

10、取最小值，求相应的x的取值范围。解法1:分三种情况讨论：（1）当—2时，原式=—x—2—x+3=—2x+1,Vx^-2,.•.一2x+l彡5。此时，当x=_2时，原式取得最小值5.（2）当一2〈x〈3时，原式=x+2—x+3=5。此时，原式的值恒为5.（3）当x>3时，原式=x+2+x—3=2x—1•••x彡3,/.2x_l彡5。此时，当x=3时，原式取得最小值5.综合（1）、（2）、（3

11、）可得:代数式

12、x+2

13、+

14、x-3

15、取最小值吋，相应的x的取值范围是：一2

16、;v+2

17、的儿何意义是数轴上表示数x的点（设为X）到表示—2的点（设为A）的距离AX，同样

18、x-3

19、表示距离BX。显然，只有当点X在线段AB上时，AX+BX的p长才能取得最小值AB=

20、3-（-2）

21、=5,-203图1所以x的取值范围是：一2彡x彡3.点评:两种解法各有千秋，解法1运用了分类讨论思想和不等式的知识；解法2运用了数形结合思想和绝对值的几何意义，这种解法更直观清晰。实际上，它们都是解决绝对值问题的常用方法，同学们应予以掌握。五.“形”向转化角度例5

22、.如图2，在边长为10的正方形ABCD屮，以AB为直