鄂南高中届数学模拟试题(1)

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1、鄂南高中2011届数学模拟试题(6)一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知复数(i是虚数单位),是的共轭复数,则=A.1B.0C.D.22.“”是“对任意的正数,恒成立”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设F1、F2是双曲线-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,且·=0,则

2、

3、·

4、

5、的值等于A.2B.2C.4D.84.已知的最小值是2,则A.B.2C.3D.45.如图所示,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始时,漏斗盛满液体,经过3分钟漏完,已知圆柱中液面上升的速度是一个常

6、量,是圆锥形漏斗中液面下落的距离,则与下落时间(分)的函数关系表示的图象只可能是tHO3tHO3tHO3tHO3A.B.C.D.H6.对于数列,若存在常数,使得对任意,与中至少有一个不小于,则记作,那么下列命题正确的是A.若,则数列各项均大于或等于B.若,则C.若,,则D.若,则7.已知直线与圆及抛物线的四个交点从上到下依次为四点,则=A.12B.14C.16D.188.已知函数,,下列结论错误的是A.,≥0B.,,C.,,D.,9.设向量,且A、B、C分别是△ABC的三个内角,若,则A=A.B.C.D.10.函数满足:对一切当=A.B.C.D.二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分

7、)11、若,对于任何,都有,且,设表示整数的个位数字,则.12.设若则的最大值为.13.已知平面内一区域,命题甲:点;命题乙:点.如果甲是乙的充分条件,那么区域的面积的最小值是.14.设是椭圆上任意一点,和分别是椭圆的左顶点和右焦点,则的最小值为.15.若曲线(或)在其上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为该曲线的自公切线.下列方程的曲线存在自公切线的序号为.①;②;③;④;⑤三.解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写演算步骤)16.(本小题满分12分)在△ABC中,设角A、B、C的对边分别为a、b、c,若,(1)求角A、B、C的大小;(2)若BC边上的中线AM的长为,求△ABC的面积.

8、17.(本小题满分12分)如图,一个小球从处投入,通过管道自上而下落到或或.已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式进行促销活动,若投入的小球落到,则分别设为等奖.(1)求投入小球次获得等奖的概率;(2)已知获得等奖的折扣率分别为.记随机变量为获得等奖的折扣率.求随机变量的分布列及数学期望;(3)若有人次(投入球为人次)参加促销活动,记随机变量为获得等奖或等奖的人次,求.18.(本小题满分12)已知四棱锥的底面为直角梯形,∥,底面,且,是的中点.ABCDPM(1)求AC与PB所成的角的余弦值;(2)求二面角P—AC—M的余弦值;(3)在棱PC上是否存在点N,使D

9、N∥平面AMC,若存在,确定点N位置;若不存在,说明理由.19.(本小题满分12分)已知椭圆()的离心率为,且短轴长为2.(1)求椭圆的方程;(2)若与两坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于两点,为坐标原点,且,,求直线的方程.20.(本小题满分13分)已知函数,(其中R,为自然对数的底数).(1)当时,求曲线在处的切线方程;(2)当≥1时,若关于的不等式≥0恒成立,求实数的取值范围.21.(本小题满分14分)已知函数同时满足条件:①对于任意;②对任意(I)证明:上的单调增函数;(II)求的值;(III)令参考答案(6)AAABC,DBDCA11.212.113.214.15.①③⑤7.把代入得8.

10、(1)∵是增函数,∴A真;(2)令,它可视为上的点与原点连线的斜率,由图像知B真;(3)令,∵,∴在,∴,,使得,C真;(4)∵是凸函数,∴D错。10.∵,∴T=2,∴=11.由12.,14.,设,则16.(1)由知,所以,又得,即,解得,(舍).故,.…………………………………………6分(2)在△ABC中,由于BC边上中线AM的长为,故在△ABM中,由余弦定理得,即①………………8分在△ABC中,由正弦定理得即②………………10分由①②解得故………………12分17.解析:(1)投入小球次获得等奖的概率为.-------------------4’(2)由题意得的分布列为50%70%90%则-

11、-----------------------------------------8’(3)由(2)可知,获得等奖或等奖的概率为由题意得,则.--------------------12’18.(1)如图,过作∥,且,连结CE、AE,则即为AC与PB所成的角,由已知可得,.(4分)ABCDPMNH(2)取中点连MN,则MN∥BC,MN平面PAC.取AC中点H,连NH,MH,则NH⊥AC,MH⊥AC

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