定积分的应用(19)

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1、第十章定积分的应用§1.平面图形的面积习题1.求由抛物线所围图形的面积。解：设所围图形的面积为，如图10-1解方程组得两曲线两交点坐标为，则积分区间为，图形面积为2.求由与直线和所围图形的面积。解：设所围图形总面积为，3.抛物线把圆分成两部分，求这两部分面积之比。解：设分别表示被抛物线分割成的两部分圆面积，则4.试证摆线所围图形的面积（图10—7）。解：设所围图形的全部面积为，取积分变量为，当由变到时，就得到曲线在第一象限的部分，5.求心形线所围图形的面积。解：设所围图形面积为，取积分变量为，当由变到时，即得到曲线在轴上方部分，由极坐标系下面积的积分表达式有：6

2、.求三叶形线所围图形的面积。解：7.求由与坐标轴所围图形的面积。解：设所围图形面积为，将曲线方程化为显式为：曲线与轴、轴的坐标分别为，取为积分变量，则积分区间为故有8.求由曲线所围图形的面积。解：设所围图形面积为，由参数方程下定积分计算面积公式有9.求二曲线与所围公共部分的面积。解：由方程组得当曲线中从变到，且曲线中从变到时即得到封闭图形，其面积为10.求两椭圆与所围公共部分的面积。解：两椭圆在第一象限内的交点为阴影部分的面积：故公共部分的面积为：§2由平行截面面积求体积习题1.如图10—13所示，直椭圆柱体被通过底面短轴的斜面所截，试求截得锲形体的体积。解：设

3、垂直于轴的截面面积函数为，立体体积为按图中的坐标系和数据可得出椭圆柱面的方程为：由相似三角形边长比的关系知，又2.求下列平面曲线绕轴旋转所围成的立体体积:(1),绕轴；解：(2)绕轴；解：(3)绕极轴；解：曲线的参量方程为：由图有：(4)绕轴；解：由，得则3.已知球半径为，验证高为的球缺体积。解：设球缺体积为，半径为，高为，则由旋转体体积公式有4.求曲线所围平面图形（图10—7）绕轴旋转所得立体的体积。解：由曲线绕轴旋转所得立体的体积为5.导出曲边梯形绕轴旋转所得立体的体积公式为证明：如图在区间上的柱壳体积即为体积元素则由微元法知旋转体体积：6.求所围平面图形绕

4、轴旋转所得立体的体积。解：§3平面曲线的弧长与曲率习题1.求下列曲线的弧长:(1)解：由于由曲线的弧长公式有(2)解：令，则由参数方程下弧长公式(3)解：(4)解：(5)(6)解：由极坐标下弧长公式2.求下列各曲线在指定点处的曲率:(1)在点(2,2)解：由曲率公式，曲线在处的曲率为：(2)在点(1,0)解：(3)在的点解：由曲率公式有(4)在的点解：3.求的值，使椭圆的周长等于正弦曲线在上一段的长。解：设椭圆周长为，，在的周长为则依题意故两边积分限均为，并令中有当时，时有，4.设曲线由极坐标方程给出,且二阶可导,证明它在点处曲率为证明：由得对来说，以代入的公式

5、，得5.用上题公式，求心形线在处的曲率、曲率半径和曲率圆.解：已知去曲线极坐标方程为它在曲率为曲率半径曲率圆的圆心在轴上，半径为，方程为6.证明抛物线在顶点处曲率为最小。证明：抛物线在任意点的曲率即当时，达到最大值，而故在抛物线的顶点处的曲率半径最小7.求曲线上曲率最大的点解：曲线任意点处的曲率令得容易验证为的最大值故曲线上点处的曲率最大§4旋转曲面的面积习题1.求下列平面曲线绕指定轴旋转所得旋转曲面的面积：（1），绕轴解：由旋转体侧面积公式，得（2）绕轴解：（3），绕轴解：当时，当时，当时，（4），绕轴解：2.设平面光滑曲线有极坐标方程给出，试求它绕极轴旋转所

6、得旋转曲面的面积计算公式解：在直角坐标下的旋转曲面面积微元有坐标变换公式及极坐标下弧长微分公式将其代入式，得，由到积分即可得到式即是极坐标系下旋转曲面面积公式3.试求下列极坐标曲线绕极轴旋转所得旋转曲面的面积：（1）心形线；解：由图形的对称性和参数方程下的旋转曲面面积公式有（2）双纽线。解：§5定积分在物理中的某些应用习题1.有一等腰梯形闸门，它的上、下两条底边长为10米和6米，高为20米。计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力。解：如图10-8，由、点的坐标及，求出过的直线方程为：，即由于在相同深度处水的静压强相同，其值等于，故当很小时，闸门从深度到这一

7、狭条上受的静压力为2.边长为和的矩形薄板与液面成角斜沉于液体中。设，长边平行于液面，上沿位于深处，液体的比重为。试求薄板每侧所受的静压力。解：如图10-9所示在液体内部m深处，作用在薄板上压力的微分为则积分区间从到，故薄板每侧所受的静压力为3.直径为6米的一球浸入水中,其球心在水平面下10米,求球面上所受压力.解：球面在水深m处所受压力的微元为球面所受总压力4.在坐标轴的原点有一质量为的质点，在区间上有一质量为的均匀细杆。试求质点有细杆之间的万有引力。解：如图10-11任取，当很小时可将这一小段细杆看作一质点，其质量有万有引力公式有则5.两条各长为的均匀细杆在同

8、一直线上，中间离开距离每