极限存在准则两个重要极限教案

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1、§1.7极限存在准则两个重要极限求函数的极限问题，有些可用上节运算法则获得解决，但更多的远不能解决，例已知时，,但时，是否有？如果有，怎样求？再如无限多个积，换成？一．极限存在准则I1．准则I如果数列满足：(1)(2),那么数列的极限存在，且.证：∵,，∴，当时，有.同理，当时，有.取，则当时，有,同时成立即,,而n，∴,即.故。*数列极限存在准则I可推广到函数的极限。准则Iˊ如果(1)(或)时，有成立；(2),(或),那么(或).准则I,I′称为夹逼准则。2．利用准则I′证明第一个重要极限：证：函数在时有定义单位圆中，的面积＜扇形的面积＜的面积即,(1)(∵用代时，与都

2、不变号，∴对也成立)。证时，即,由准则I′有由式(1)及准则I′即得。3．应用：求极限(1),(2),(3)(4)(5)(,常数)ex:令,,.二．极限存在准则Ⅱ如果数列满足,称为单调增加的（减少）。已知收敛的数列一定有界，但有界数列不一定收敛。若数列单调且有界，则有：1．准则Ⅱ：单调有界数列必有极限。（正确性通过数列的几何意义容易从直观上看出，严格的证明用实数理论，不作证明。）几何解释：单调数列的点只向一个方向移动,定点因为有界，所以都落在内，且极限的绝对值不超过2．讨论第二个重要极限考虑取并设,证数列单调有界。＝1+1++=1+1++，比较与，数列单调增加又xn<1+

3、1+，即数列有界。根据准则Ⅱ，数列极限存在，通常用e表示，即。可证取实数→+∞或→-∞时,的极限都存在且等于e，因此，.(e=2.718281828…)利用代换，则当时可有。3．应用求极限(1)（2）=三．利用极限存在准则求极限例1.证明：证:由于0<=,,所以=0.例2.已知对1,2,…,均有,且,求解：由于,故而，故即，数列单调增加。又,可知数列有界.所以存在，设则由,有所以,或,而由及数列递增,知即*未证极限存在之前不能两边取极限.小　结：极限存在准则与两个重要极限是函数极限的重要内容，必须熟练掌握并能准确应用。