数值计算第7章数值微分和数值积分

《数值计算第7章数值微分和数值积分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、第7章 数值微分和数值积分7.1 数值微分　　7.1.1差商与数值微分　　当函数是以离散点列给出时，当函数的表达式过于复杂时，常用数值微分近似计算的导数。在微积分中，导数表示函数在某点上的瞬时变化率，它是平均变化率的极限；在几何上可解释为曲线的斜率；在物理上可解释为物体变化的速率。　　以下是导数的三种定义形式：　　　　　　            　（7.1）　　在微积分中，用差商的极限定义导数；在数值计算中返璞归真，导数取用差商（平均变化率）作为其近似值。　　最简单的计算数值微分的方法是用函数的差商近似函数的导数，即取极限的近似值。下面是与式（7

2、.1）相应的三种差商形式的数值微分公式以及相应的截断误差。　　向前差商　　用向前差商（平均变化率）近似导数有：　　　　　                     （7.2）　　其中的位置在的前面，因此称为向前差商。同理可得向后差商、中心差商的定义。　　由泰勒展开　　 　　得向前差商的截断误差：　　 　　向后差商　　用向后差商近似导数有：　　　　　                    （7.3）　　与计算向前差商的方法类似，由泰勒展开得向后差商的截断误差：　　　　　　中心差商　　用中心差商（平均变化率）近似导数有：　　　　            

3、       （7.4）　　由泰勒展开　　　　 　　得中心差商的截断误差：　　　　           　　差商的几何意义　　微积分中的极限定义，表示在处切线的斜率，即图7.1中直线的斜率；差商表示过和两点直线的斜率，是一条过的割线。可见数值微分是用近似值内接弦的斜率代替准确值切线的斜率。图7.1微商与差商示意图　　例7.1给出下列数据，计算，－0.020.040.060.80.105.065.075.0655.055.055　　解：（5.07－5.06）/（0.04－0.02）=0.5　　（5.05－5.07）/（0.08－0.04）=－0.5

4、　　（5.05－5.055）/（0.08－0.10）=0.25　　（(0.10)－(0.06)）/（0.10－0.06）=18.75　　设定最佳步长　　在计算数值导数时，它的误差由截断误差和舍入差两部分组成。用差商或插值公式近似导数产生截断误差，由原始值的数值近似产生舍入误差。在差商计算中，从截断误差的逼近值的角度看，越小，则误差也越小；但是太小的会带来较大的舍入误差。怎样选择最佳步长，使截断误差与舍入误差之和最小呢？　　一般对计算导数的近似公式进行分析可得到误差的表示式，以中心差商为例，截断误差不超过　　　　而舍入误差可用量估计（证明略），其中

5、是函数的原始值的绝对误差限，总误差为　　　　当时，总误差达到最小值，即　　                     （*）　　可以看到用误差的表达式确定步长，难度较大，难以实际操作。　　通常用事后估计方法选取步长，例如，记为步长等于的差商计算公式，给定误差界，当时，就是合适的步长。　　例7.2对函数，取不同的步长计算，观察误差变化规律，从而确定最佳步长。　　解：误差误差0.100.090.080.070.063.16303.16223.16133.16073.1600－0.0048－0.0040－0.0031－0.0025－0.00180.050

6、.040.030.020.013.15903.15883.15833.15753.1550－0.0008－0.0006－0.0001－0.0007－0.0032　　表中数据显示，当步长从0.10减少到0.03时，数值微分误差的绝对值从0.0048减少到0.0001，而随着的进一步减少，误差的绝对值又有所反弹，表明当步长小于0.03时，舍入误差起了主要作用。　　在实际计算中是无法得到误差的准确数值的，这时以最小为标准确定步长，本例中取=0.04。　　7.1.2插值型数值微分　　对于给定的的函数表，建立插值函数，用插值函数的导数近似函数的导数。　　设

7、为上的节点，给定，以为插值点构造插值多项式，以的各阶导数近似的相应阶的导数，即　　　　　　当时，　　　　           （7.5）　　误差项为：　　　　　　例7.3给定，并有，计算。　　解：作过的插值多项式：　　　　　　将代入得三点端点公式和三点中点公式：　　　　    　　　　利用泰勒（Taylor）展开进行比较和分析，可得三点公式的截断误差是。　　类似地，可得到五点中点公式和五点端点公式：　　　　　　    　　7.1.3样条插值数值微分　　把离散点按大小排列成，用关系式构造插值点的样条函数：　　　　当则当时，可用计算导数。7.2　数值

8、积分　　在微积分中用牛顿－莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式计算连续函数的定积分：　　 　　但是，当被积函数是以点列的形式给出