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1、2005年研究生入学考试题—欧氏空间2005—002—7：给定n维实线性空间V的基，设在该基下的坐标分别为，定义实数证明：（a）实数构成V的内积；（b）在该内积意义下是V的标准正交基。2005—002—10：证明：（a）若A为实反对称矩阵，则是正交矩阵；（b）若Q为正交矩阵且E+Q可逆，则存在实反对称矩阵A使得。2005—003—2：在欧氏空间中，已知向量组I：线性无关，向量组Ⅱ:（1）求向量组Ⅱ的秩;（2）试问I组能否由Ⅱ组线性表示？Ⅱ组能否由I组线性表示？请阐述理由。（3）求由向量组Ⅱ所生成的线性子空间的一个标准正交基。2005—003—4：在欧氏空间中,为一
2、已知单位向量,线性变换定义为,（1）证明是的一个正交变换;（2）求关于的基的矩阵A2005—005—2：已知向量组，试求向量，使构成３维向量空间的一个标准正交基．2005—005—8：证明：n阶矩阵A是正交矩阵的充分必要条件是；且当时，Ａ的每个元素等于它的代数余子式；当时，Ａ的每个元素等于它的代数余子式的相反数．2005—006—７：３阶整系数的行列式等于－１的正交矩阵共有 个．2005—006—８：设A是行列式等于－１的正交变换，则 一定是A的特征值． 2005—006—12：由标准欧几里得空间中的向量组， ，张成的子空间W的一组规范正交基为.200
3、5—006—1３：设Ｖ是n维欧几里得空间，W是V的子空间，则 Ｗ（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） ＝ （Ｄ） 2005—008—7：证明:任一n阶实可逆矩阵A可以分解成一个正交阵Q与一个正定阵S之积,即A=QS.2005---008—10：证明:不存在n阶正交阵A,B,使得.2005---009—5：已知实二次型通过正交线性替换化成标准形,求参数的值及所用的正交线性替换.2005---009—7：设V为n维欧氏空间,为V中线性无关的固定向量.证明:（I）W=为V的一个子空间.（II）dimW=n-3.2005---009—9：在实数域R上线性空间上(其中为R
4、上所有n阶方阵之集)定义一个二元函数,（I）验证上述定义是内积,从而构成欧氏空间.（II）设定义的一个线性变换:证明:是欧氏空间的正交变换的充分必要条件是A为正交矩阵.(表示矩阵A的迹,表示矩阵A的转置)2005---011—1(9)：正交矩阵的实特征值为_______2005---011—7：设V是一个n维线性空间,是V的一个标准正交基,A是V的一个线性变换,是A关于这个基的矩阵,证明(其中表示内积).2005—014—5（1）：设实数域上阶矩阵的元为。在实数域上维线性空间中，对于。试问：是不是上的一个内积，写出一个理由。2005—015—1（1）：欧氏空间的度
5、量矩阵一定是----（A）正交矩阵；（B）正定矩阵；（C）上三角矩阵；（D）下三角矩阵。2005—015—1（7）：欧氏空间线性变换称为正交变化是指：对任意的，都有----（A）；（B）；（C）；（D）。200—016—3：设是一维欧氏空间，是中一固定向量。（1）证明：是的子空间；（2）证明：的维数等于2005—017—6：证明：任何阶实对称方阵必合同于对角阵，即存在阶非奇异实方阵使得，这里；任何阶实反对称非奇异方阵必为偶数阶（即），且合同于块对角阵，即存在即存在阶非奇异实方阵使得，这里；对迹（对角元之和）为0的阶实方阵，存在实正交阵，使得的主对角元全为零。注：这
6、里的分别表示的转置。2005—022—6：设A为正交矩阵，A的特征根均为实数，证明A为对称矩阵。2005—022—7：设A，B为实对称矩阵，证明A，B的特征根全部相同的充要条件是存在正交矩阵T，使得。2005—022—9：设为欧氏空间V中的一个单位向量，定义（其中表示与的内积，证明：（I）正交变换。这样的正交变换称为镜面反射；（ii）对任意的，V，若，均为单位向量，则存在镜面反射。使=，并求这个镜面反射的特征值及所对应的特征子空间。2005—025—1（9）：在中，已知=（1，2，2，3），=（1，1，2，2），求与的夹角。（内积按通常的定义）。2005—026—
7、1（6）：欧氏空间中，令=（1,2,3,1）,=(2,1,2,3),=(5,7,11,6),=(5,4,7,7).表示由向量组生成的子空间，则的一个基为____;令A=，则齐次线性方程组A=0的解空间的维数为____;的正交补的一个基为____.
