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1、《高等数学》教案43ChapⅠ函数、极限与连续函数是现代数学的基本概念之一，是高等数学的主要研究对象.极限概念是微积分的理论基础，极限方法是微积分的基本分析方法，因此，掌握、运用好极限方法是学好微积分的关键.连续是函数的一个重要性态.本章将介绍函数、极限与连续的基本知识和有关的基本方法，为今后的学习打下必要的基础.§1.函数本节重点：函数的性质.本节难点：函数的概念.本节内容：一、引言在现实世界中，一切事物都在一定的空间中运动着.17世纪初，数学首先从对运动（如天文、航海问题等）的研究中引出了函数这个基本概念.在那以后的二百多年里，这个概念在
2、几乎所有的科学研究工作中占据了中心位置.二、集合的概念集合（或简称集）是指具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.有限集 由有限个元素组成的集合.无限集 由无穷多个元素组成的集合.集合的表示：列举法和描述法.；.例如，平面上坐标适合方程的点的全体组成的集合 .自然数集合N；整数集合Z；有理数集合Q；无理数集合RQ；实数集合R；复数集合C.；；参考课时：15+3微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分.——冯.诺伊曼注：冯.诺依曼（JohnvonNeumann，1903-1957，匈牙
3、利人），20世纪最杰出的数学家之一，在纯粹数学、应用数学、计算数学等许多分支，从集合论、数学基础到量子理论与算子理论等作多方面，他都作出了重要贡献.他与经济学家合著的《博弈论与经济行为》奠定了对策论的基础，他发明的“流程图”沟通了数学语言与计算机语言，制造了第一台计算机，被人称为“计算机之父”.《高等数学》教案43；.子集 .集合相等 .空集不含任何元素的集合.（）例如三、集合的运算交集并集差集补集(余集)交换律结合律分配律对偶律四、区间与邻域开区间 闭区间 ,数称为这些区间的长度. 《高等数学》教案43,.常用I表示区间.邻域 数集称为
4、点的邻域，记作点叫做这邻域的中心，叫做这邻域的半径. .=（）去心邻域 ＝五、函数概念在研究问题过程中保持一定的数值的量叫做常量；可以取不同的数值的量叫做变量.相对,理想气体,互相转化通常用表示常量，用表示变量.例1圆的面积 .例2自由落体运动 .例3内接于圆的正n边形的边长.抽去上面几个例子中所考虑的量的实际意义，它们都表达了两个变量之间的关系,这种关系给出了一种对应法则,根据这一法则，当其中一个变量在其变化范围内任意一个数值时，另一个变量就有确定的值与之对应.Df 设和是两个变量，是非空数集.如果对于每个,按照某法则,变量有（唯一）确
5、定的数值和它对应，则称是的函数，记作.哲学：辩证法数学方法：抽象称规则为函数《高等数学》教案43叫做自变量，叫做因变量.数集叫做函数的定义域，值域实际问题的定义域,抽象函数的定义域.（解不等式组）单值函数，多值函数..Df 设,$规则,,则称规则为（从到）的函数.数值函数Df设,则称映射为函数.六、函数的表示法解析（公式）法，表格法，图示（图像）法.七、分段函数举例在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数，称为分段函数.符号函数取整函数不超过的最大整数..（Drichlet狄义希莱函数）分段函数是一个函数！不是多个函数.八、
6、函数关系的建立库存问题 符号：《高等数学》教案43九、函数的特性Ⅰ、有界性Df在上有界.在上无界.在有界.在无界,在有界.Ⅱ、单调性Df,有，则称在区间上(严格)单调增加;减少.记作；.在,在.Ⅲ、奇偶性Df设,如果,则称为奇（偶）函数.关于原点(轴)对称.奇偶性与单调性(图示),=奇函数+偶函数.(唯一)Ⅳ、周期性Df为周期函数.最小正周期(基本周期):,无最小正周期，:,无最小正周期从正面描述否定概念,形式"«$《高等数学》教案43,.设,则为周期函数.例4解下列不等式,并将其解用区间表示.(1)(2)(3).例5函数.定义域,值域.例6
7、.,.例7判断下面函数是否相同,并说明理由.(1)与.(2)与.例8求函数的定义域.例9求函数的定义域.例10设,求函数的定义域.例11某工厂生产某型号车床,年产量为a台,分若干批进行生产,每批生产准备费为b元,设产品均匀投入市场,且上一批用完后立即生产下一批,即平均库存量为批量的一半.设每年每台库存费为c元.显然,生产批量大则库存费高;生产批量少则批数增多,因而生产准备费高.为了选择最优批量,试求出一年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系.例12某运输公司规定货物的吨公里运价为:在a公里以内,每公里k元,超过部分公里为元.求运价m和里程
8、s之间的函数关系.例13证明:(1)函数在上是有界的;(2)函数在上是无界的.《高等数学》教案43例14证明函数在内是单调增加的函数.例15判断函数的奇偶性.例16
