中学数学教学中的反证法

《中学数学教学中的反证法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、中学数学教学中的反证法　　摘要：反证法是在中学数学中常用到的一种非常重要的证明方法.文章介绍了反证法的基本概念、步骤、典型例题和使用条件.　　关键词：中学数学教学反证法使用条件　　在生活中，我们都有这样的常识，去掉大米中的砂粒，有两种方法.一种是直接从大米中把砂粒一粒一粒地拣出来；一种是用间接的方法――淘洗法，把砂粒残留下来.这两种方法虽然形式不同，但结果却是一样的，都能达到去掉砂粒的目的.有时用直接方法很困难，而用间接方法却容易得多.牛顿曾说：“反证法是数学家最精当的武器之一.”当一些命题不易从正面直接

2、证明时，就可考虑用反证法.　　一、反证法的基本概念　　1.反证法的定义　　法国数学家阿达玛对反证法的实质做了如下概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这是对反证法的极好概括.其实反证法也称作归谬法。反证法适合一些正面证明比较困难，但是否定则比较简单的题目，在高中数学中的应用较为广泛，在解决一些较难问题的时候，反证法能体现其优越性.　　2.反证法的基本思想　　反证法的基本思想就是否定之否定，这种基本思想可以用下面的公式表示：5　　“否定→推理→矛盾→肯定”，即从否定结论开始，经过正确无误的推

3、理导致逻辑矛盾，达到新的否定.　　3.反证法的逻辑依据　　通过以上三个步骤，为什么能肯定原命题正确呢？其逻辑根据就在于形成逻辑的两个基本规律：“排中律”和“矛盾律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，

4、所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真.所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的.　　二、反证法的步骤　　用反证法证题一般分为三个步骤：　　1.反设.假设原命题的结论不成立；　　2.归谬.从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；　　3.结论.由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确.　　即：否定结论→推导出矛盾→结论成立.　　三、反证法的种类5　　1.归谬反证.结论的反面只有一种情

5、形，只要把它驳倒，就能达到证题目的.　　2.穷举反证.结论的反面不止一种情形，必须将它们逐一驳倒，才能达到证题目的.　　四、反证法的典型例题　　例1：已知：AB，CD是圆内非直径的俩弦（如图），求证：AB与CD不能互相平分.　　证明：假设AB与CD互相平分与点M，则由已知条件AB，CD均非圆O直径，可以判定M不是圆心O，联结OA，OB，OM.　　因为OA=OB，M是AB中点，所以OM⊥AB（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）.同理可得：OM⊥CD，从而过点M有两条直线AB，CD都垂直于OM.这与已知的定理

6、相矛盾.故AB与CD不能互相平分.　　五、反证法的使用条件　　任何方法都有它成立的条件，也都有它适用的范围.离开了条件超越了范围就会犯错误，同样，问题解决也就没有那么容易.因此，我们应该学会正确使用反证法解题.　　虽然用反证法证明，逻辑推理严谨而清晰，论证自然流畅，可谓是干净利落，快速而可行，是一种很积极的证明方法，而且用反证法证题还有很多优点：如思想选择的余地大、推理方便等.但是并不是什么题目都适合用反证法解决.　　例2：如果对任何正数p，二次方程ax+bx+c+p=0的两个根是正实数，则系数a=0，试

7、证之.5　　分析：看了本题的证明过程似乎很合理，但其实第三步，即肯定原结论成立的论证错了.因为，本题的题设条件为对任意正数p，y=0有两个正实数根，结论是a=0，但本题的题设条件与结论是矛盾的；当a=0时，二次方程就变成了一次方程bx+c+p=0，此一次方程在b≠0时，对于任何正数p，它只有一个根；在b=0时，仅当p=-c>0的条件下，它有无数个根，否则无根，但总之不会有两个根.题设条件和结论矛盾.因此，本题不能反证法来处理.若原题改为“如果对于任何正数p，只存在正实根，则系数a=0”，就能用反证法证明.

8、　　因此，对于下列命题，较适用反证法解决.　　（1）至多至少型命题；（2）唯一性命题；（3）否定型命题；（4）明显型命题；（5）此前无定理可以引用的命题.　　例3：设a，b都是正数，求证：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b.　　证明：反设ln（a/b）≤（a-b）/b不成立，便有ln（a/b）≥（a-b）/b，由对称性知：ln（b/a）≥（b-a）/a，相加得：ln（a/b）+ln（b/a）>（a-b）/b+（b-