概率论讲义(茆诗松)

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1、《概率论》课程教案第二章随机变量及其分布教学目的与教学要求：理解随机变量的概念；掌握离散和连续随机变量的描述方法；理解分布函数、概率分布列和概率密度函数的概念和性质；会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布、均匀分布等；会求简单随机变量函数的概率分布及特征数。教学重点：不同类型的随机变量的概率分布的概念和性质、常用的离散和连续分布、随机变量的数学期望与方差的概念和性质、随机变量函数的分布。教学难点：概率分布和数学期望以及方差性质的应用、随机变量函数的分布。教学措施：理论部分的教学多采用讲授法，注意思想方法的训练

2、，计算类问题采用习题与讨论的方法进行教学。教学时数：20学时教学过程：§2.1随机变量及其分布例2.1.1(1)掷一颗骰子，出现的点数：1、2、…、6；(2)个产品中的不合格品个数：0、1、2、…、；(3)某商场一天内来的顾客数：0、1、2、…；(4)某种型号电视机的寿命：。§2.1.1随机变量的概念定义2.1.1定义在样本空间上的实值函数称为随机变量，常用大写、、等表示；随机变量的取值用小写字母、、等表示。注意：(1)随机变量是样本点的函数，其定义域为，其值域为，若表示掷一颗骰子出现的点数，则是不可能事件；(2)若为随机变量，则、、…均为随机事

3、件，即：；(3)注意以下一些表达式：(4)同一样本空间可以定义不同的随机变量。两类随机变量：若随机变量可能取值的个数为有限个或可列个，则称为离散随机变量42《概率论》课程教案；若随机变量的可能取值充满某个区间，则称为连续随机变量，其中可以是，可以是。前例2.1.1中的、、为离散随机变量；而为连续随机变量。§2.1.2随机变量的分布函数定义2.1.2设是一个随机变量，对任意实数，称为随机变量的分布函数，且称服从，记为，有时也可用表明是的分布函数。定理2.1.1任一个分布函数都有如下三条基本性质：(1)单调性：是定义在整个实数轴上的单调非减函数，即对

4、任意的，有；(2)有界性：，有，且(3)右连续性：是的右连续函数，即对任意的，有即：。注：(1)上述三条可以作为判断一个函数是否为分布函数的充要条件；(2)有了分布函数的定义，可以计算：等。§2.1.3离散随机变量的概率分布列定义2.1.3设是一个离散随机变量，如果的所有可能取值是、、…、、…，则称取的概率42《概率论》课程教案为的概率分布列或简称为分布列，记为。分布列也可用下列形式表示：…………分布列的基本性质：(1)非负性：(2)正则性：。注：(1)上述两条可以作为判断一个数列是否为分布列的充要条件；(2)离散随机变量的分布函数为：。求离散随

5、机变量的分布列应注意：(1)确定随机变量的所有可能取值；(2)计算每个取值点的概率。对离散随机变量的分布函数应注意：(1)是递增的阶梯函数；(2)其间断点均为右连续的；(3)其间断点即为的可能取值点；(4)其间断点的跳跃高度是对应的概率值。例2.1.2已知的分布列如下：012求的分布函数？解：。例2.1.3已知的分布函数如下，求的分布列？42《概率论》课程教案解：的分布列如下：0120.40.40.2§2.1.4连续随机变量的概率密度函数因为连续随机变量的可能取值充满某个区间，所以对连续随机变量，有，从而无法仿离散随机变量用来描述连续随机变量的分

6、布；定义2.1.4设随机变量的分布函数为，如果存在实数轴上的一个非负可积函数，使得对任意实数，有则称为连续随机变量，称为的概率密度函数，简称为密度函数。密度函数的基本性质：(1)非负性：；(2)正则性：。注：(1)上述两条可以作为判断一个函数是否为密度函数的充要条件；(2)；(3)是上的连续函数；(4)；(5)；(6)当在点可导时，，当在点不可导时，。离散随机变量与连续随机变量对比：离散随机变量连续随机变量分布列：（唯一）密度函数：（不唯一）且42《概率论》课程教案点点计较为阶梯函数，即：为连续函数，即：例2.1.4设，求(1)常数；(2)?解：

7、(1)；(2)。例2.1.5设，求?解：。例2.1.6设与同分布，的密度为已知事件和独立，且，求常数？解：因为，且、独立，得再由解得：由此得因此从中解得。§2.2随机变量的数学期望42《概率论》课程教案§2.2.1数学期望的概念例2.2.1（分赌本问题）若甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元，无平局，谁先赢3局，则获全部赌注，当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博，问如何分赌本？赌本有两种分法：(1)按已赌局数分：则甲分总赌本的、乙分总赌本的；(2)按已赌局数和再赌下去的“期望”分：设再赌下去，则再赌两局必分胜负，共四种情况：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。于

8、是，甲的所得是一个可能取值为0或100的随机变量，其分布列为：0100甲的“期望”所得是：。这就是数学期望的由来，又称期望或均值，数学期