习题六习题（答案）

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1、资料第六章习题答案1.用二分法求方程在区间内的根，要求其绝对误差不超过解：由于　　且当时，　　所以方程在区间内仅有一个实根。　　由解得　　　所以需要二分7次，才能得到满足精度要求的根。　　取区间的中点将区间二等分，求得与同号，因此得到下一区间如此继续下去，即得计算结果。01（-）1.5（-）2（+）11.5（-）1.75（+）2（+）21.5（-）1.625（-）1.75（+）31.625（-）1.6875（-）1.75（+）41.6875（-）1.71875（-）1.75（+）51.71875（-）1.734375（+）1.75（+）61.71875（-）1.7265

2、625（-）1.734375（+）71.7265625（-）1.73046875（-）1.734375（+）计算结果如下表：。2.证明在内有一个根，使用二分法求误差不大于的根要迭代多少次？证明：　设　　　　　由于　　　　且当时，.资料　　　　因此方程在区间内有一个根。　　　　由解得　　　　所以需要迭代14次，才能使求得的根的误差不大于。3.证明方程在内有根，使用二分法求这个根，若要求需二分区间多少等分？证明：设由于且当时，因此方程在区间内有一个根。　由解得所以需二分区间19等分，才能满足4.能否用迭代法求解下列方程若不能，试将原方程改写成能用迭代法求解的形式。　解：　　

3、　　　　故迭代格式收敛，可以用其来求解方程。　设　　　　　　且　可知在上存在一个根，即　　　　　当时，　　　可知不能用迭代格式来求解方程。.资料　　　可将方程变形为　令　　　　　　　所以迭代格式收敛，可以用其来求解方程。5.为求方程在附近的一个根，设将方程改写成为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：　　迭代公式　　迭代公式　　迭代公式　　试讨论它们的收敛性。　解：　　　　　　　　　所以此迭代格式是收敛的。　　　　　　　　　所以此迭代格式是收敛的。　　　　　　　　　所以此迭代格式不收敛的。6.给出计算迭代格式，讨论迭代格式的收敛性并证明　解：由题意可得出其迭代格式为　　　

4、　由上式可知，.资料　　　当时，　所以迭代格式是收敛的。　由可得，　　　　　解得：　其中舍去。可得　　　　即解得7.用下列给定的方法求在附近的根，根的准确值为　要求计算结果准确到四位有效数字。（1）用Newton法；（2）用弦截法，（3）用抛物线法，取解：用Newton法求解将它们代入公式有，取计算结果列于下表，并和比较得出结果，012321.8888891.8794521.879385解得用弦截法求解取依迭代公式为进行计算。计算结果列于下表，并和比较01234.资料21.91.8810941.8794111.879385解得用抛物线法求解则故则根号前的符号为正。迭代公

5、式为取计算8.用Aitken加速迭代法求下列方程在指定区间内的根。　解：由迭代格式则在上因此迭代格式是收敛的。相应于这一格式，可以得到Aitken加速迭代格式：因此由解得.资料同理，得所以式的近似解为（2）为，注：若取迭代函数，则因在上所以迭代格式不收敛。但若用Aitken加速迭代格式计算，结果是收敛的。。9.设　构造求解方程的Newton迭代格式；　证明此迭代格式是线性收敛的。解：由从而有Newton迭代格式　　　　迭代格式为.资料　　　　此外　　　则　　　所以此迭代格式是线性收敛的。10.设　构造求解方程的Newton迭代格式；证明此迭代格式具有二阶收敛性。解：由从

6、而有Newton迭代格式　　　　迭代格式为　　　　此外　　　则　　　　　　　所以此迭代格式具有二阶收敛性。11.用Newton迭代法求解方程　　　　　　　　　　　在附近的一个实根，要求（准确值为）。解：由题意则Newton迭代公式为，即取时，解得.资料同理，可得因所以用迭代法求方程所得的根为12.试导出计算的Newton迭代格式，使公式中既无开方又无除法运算。解：令则由Newton迭代公式，有即计算的Newton迭代格式为。13.应用Newton迭代法于方程和分别导出求的迭代公式，并求　解：当时故Newton迭代公式为此时：（）。当时，因故Newton迭代公式为.资料此

7、时：14.用Newton迭代法求解方程组，取。解：记，其于是有即由逐次迭代得到故。.