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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第六章习题答案1.用二分法求方程f(x)x3x23x30在区间[1,2]内的根，要求其绝对误差不超过102.解：由于f(1)113340,f(2)232232330,且当x[1,2]时，f(x)3x22x33(x1)210033所以方程在区间[1,2]内仅有一个实根。由k11(21)1102,解得k2ln106.64385.22ln2所以需要二分7次，才能得到满足精度要求的根。取[1,2]区间的中点x11.5,将
2、区间二等分，求得f(1.5)1.8750,与f(1)同号，因此得到下一区间[1.5,2];如此继续下去，即得计算结果。计算结果如下表：kak(f(ak)的符号)xk(f(xk)的符号)bk(f(bk)的符号)01（-）1.5（-）2（+）11.5（-）1.75（+）2（+）21.5（-）1.625（-）1.75（+）31.625（-）1.6875（-）1.75（+）41.6875（-）1.71875（-）1.75（+）51.71875（-）1.734375（+）1.75（+）61.71875（-）1.726
3、5625（-）1.734375（+）71.7265625（-）1.73046875（-）1.734375（+）取x7(a7b7)21.730468751.73即满足精度要求。2.证明1xsinx0在[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不大于1104的根要迭代2多少次？证明：设f(x)1xsinx,由于f(0)10sin010,f(1)11sin1sin10,1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯且当x[0,1]时，f(x)1cosx0.因此方程在
4、区间[0,1]内有一个根。由11(10)1104,解得k4ln1013.293.2k2ln2所以需要迭代14次，才能使求得的根的误差不大于1104。23.证明方程ex10x20在(0,1)内有根，使用二分法求这个根，若要求
5、xnx
6、106,需二分区间[0,1]多少等分？证明：设f()ex10x2.x由于f(0)e00210,f(1)e11028e0,且当x[0,1]时，f'(x)ex100.因此方程在区间[0,1]内有一个根。由
7、xnx
8、k11(ba)1k1(10)106,解得k6ln10118.93155
9、.22ln2所以需二分区间[0,1]19等分，才能满足
10、xnx
11、106.4.能否用迭代法求解下列方程(1)x1(x)1cosx);(sinx42x(2)x2(x)4若不能，试将原方程改写成能用迭代法求解的形式。解：(1)1(x)1(cosxsinx).41(x)1coxs111(2,).1.4sxinx(cosxsin)x442故迭代格式x11(x)1(sinxcosx)收敛，可以用其来求解方程。kk4kk(2)设f(x)x2x40.f(1)121410;f(2)222420.且f(x)12xln20.可知
12、f(x)在[1,2]上存在一个根，即x[1,2].2(x)x2ln2当.x[1,2]时，2(x)2xln21.2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯可知不能用迭代格式xk142xk来求解方程。可将方程变形为2x4x,xln(4x).令3(x)ln(4x).ln2ln23(x)11,
13、3(x)
14、
15、11
16、
17、1
18、
19、1
20、1,x[1,2].ln24xln24xln24x所以迭代格式xk1ln(4xk)收敛，可以用其来求解方程。ln25.为求方程x3x210在
21、x01.5附近的一个根，设将方程改写成为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：(1x)1迭代公式xk11112,2xxk(2)x31x2,迭代公式xk131xk221迭代公式xk11试讨论它们的收敛性。(3x)x1,xk1解：(1)12(x)1x2,(x)x3.(x0)221.x(1.5,1.5).(x0)31.53所以此迭代格式是收敛的。2(2)(x)31x2,(x)2x(1x2)3.32x221.52(x0)(1x02)3.(11.52)31.x(1.5,1.5).33所以此迭代格式是收敛的。2(3)(x
22、)1,(x)(1)(x1)3.x121212(x0)(1)(1)1.x(1.5,1.5).)(x3)(1.5322所以此迭代格式不收敛的。6.给出计算x222迭代格式，讨论迭代格式的收敛性并证明x2.解：由题意可得出其迭代格式为xk12xk.3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11(x)2x,(x)(2x)221.由上式可知，x0.22x当x0时，(
