一类非线性抛物型方程反问题论文

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1、摘要在偏微分方程中，我们通常研究的是正问题，即给定了方程以及方程的解应满足的条件，如初始条件，边界条件，或者混合初边值条件，求满足给定条件的解以及研究解的正则性质．然而，在实际问题中，微分方程的解大多代表某种物理场的性质，我们不仅知道它应取得的初边值，而且还可以观测到解的某些其它附加信息．但是反映源结构的某些物理参数或几何参数却作为未知量出现在微分方程的系数中，出现在微分方程的右端部分，或出现在初边值中，要求我们利用解的某些附加信息去反求这些未知量，这就是偏微分方程的反问题．特别的，当待求的未知量是微分方程的系数时，这个反问题就被称作系数识别问题．本篇文章主要研

2、究的是利用伴随问题方法解决一类非线性抛物型方程反问题中的系数识别问题．其中，未知系数依赖于正问题的解关于空间变量的偏导数，并且属于一定的容许系数集合．首先，根据反问题的物理模型，提出一个输入——输出映射，输入即为方程的未知系数，输出则为通过观测得到的附加信息．其次，利用抛物型方程的极大值原理以及与正问题相对应的伴随问题，我们将会得到一些积分等式．利用得到的这些积分等式，就可以证明输入——输出映射是连续的，且严格单调的．更进一步地，根据得到的积分等式设计算法，计算该反问题的近似解，并分析近似解的误差．最后，用实际例子说明伴随问题方法对于系数识别问题的可行性．关键词

3、系数识别，反问题，伴随问题方法，非线性抛物型方程ABSTRACTInthepartialdifferentialequations，theproblemwemostlydiscussediSthedirectproblem．Indirectproblem，theequationandtheconditionswhichthesolutionoftheproblemshouldsatisfyaregiven，suchasinitialconditions，boundaryconditions，ormixedinitialboundaryconditions．Atl

4、ast，wemustrequirethesolutionthatsatisfiesthegivenconditions，anddiscusstheregularizationofthesolution．Butinfact，thesolutionofthedifferentialequationrepresentssomephy’sicalcharacter，wenotonlyknowtheinitialandboundaryconditions，butalsomeasuresomeadditionalinformationaboutthesolution．Att

5、hesametime，somephysicalparametersorsomegeometricparameterswhichreflectthesourcestructurebecomesunknown，tlleyappearinthecoefficientoftheequation，therighthandsideoftheequationortheinitialandboundaryconditions．ItrequiredUScomputetheseunknownparametersusingthegivenadditionalspecification

6、s，thisistheinverseproblemofthepartialdifferentialequations．Especially，whentheunknownparameteristhetoefficientoftheequation，thisinverseproblemistheparameteridentification．Thispaperisdevotedtotheclassofinverseproblemsforcoemcientidentificationwithanadjpintproblemapproachrelatedtononlin

7、earparabolicpavialdifferentialequations．Theunknowncoef!ficientdependsonthespatialderivativeofthesolutionandbelongstoasetofadmissiblecoefficients．First，accordingtothephysicalmodeloftheinverseproblem，wepresentacoefficient-to-datamapping．Then，basedonmaximumprincipleandtheadjointproblemo

8、fthedirectpr