凸显数学思维追求教育本真

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1、凸显数学思维追求教育本真【教学目标】1.让学生经历用数量关系刻画函数图象对称性的过程，了解函数奇偶性的概念和图象特征。2.让学生会根据图象特征和奇偶性定义来判断一些简单函数的奇偶性。【教学重点】用数量关系刻画函数图象的对称性。【教学难点】如何引导学生通过发现对称点之间坐标的数量关系过渡到用数量关系刻画函数图象的对称性。【教学过程】一、直观感知函数图象对称特性师：同学们，函数的单调性是研究函数图象在某一个区间上的变化趋势，即是"上升”还是"下降”的，今天我们从研究函数图象的对称性开始。（回顾单调性从图形特征和数量刻画两个方面表不图象“上升”还是“下降

2、”，为通过图形特征和数量刻画来研究函数图象的对称性做一些思想方法上的准备。）师：你能举出1至2个例子吗？师：你判断轴对称图形和中心对称图形的依据是什么？生：轴对称图形或中心对称图形，可以通过折叠或旋转看它是否重合来判断。（说明图象的对称性是图象的整体特征，它不同于单调性，单调性是研究图象在某一个区间上的变化趋势。）学生边说边画二次函数y=x2的图象，图象画好后，借助图形演示图象是关于y轴对称的。师：在演示中，我们注意到xWR,如果把xWR改为xE[-1,3],图象还关于y轴对称吗？生：横坐标为3的点在图象上，而横坐标为-3的点不在图象上，所以不对称

3、。师：综上所述，我们可以用“折”的办法判断图象是否是对称图形，用特殊点来说明图象不是对称图形。可见，函数图象的对称性是函数图象的整体特性。刚才，我们从函数图象的角度直观感知图形的对称性，其实，在日常生活中，我们也观察到许多对称现象。比如美丽的蝴蝶、盛开的花朵、六角形的雪花等等（投影显示图片）。你还能举几个日常生活中的例子吗？（让学生从已有的数学知识回到现实生活中，感受现实生活中充满着对称现象。让学生了解数学源于现实生活，数学是研究现实生活现象的自然学科，体会数学不是“凭空想象”产生的。）生：摩天轮、枫树叶、钟的表面等。师：由此可见，研究对称性具有实

4、际意义。已知函数尸f(X)的图象是关于y轴对称的，如图，是y=f(x)在y轴右边的图象，请同学们画出它在y轴左边的图象。(生画图，师巡视)师：你是怎样画出来的？生：在y轴右边的图象上取几个特殊点，作出它们关于y轴的对称点，再用光滑的曲线把它们连起来。师：事实上，图象是满足一定条件的点的集合！你能通过1个、2个甚至于若干个点来说明图象是关于y轴对称的吗？生：不能！师：怎么办？思考后，有学生回答：只要把“若干个点”改为"任意个点”就可以了。也就是说，如果函数y=f(x)的图象上任意一点P关于y轴对称的点也在图象上，那么函数y二f(x)的图象关于y轴对称

5、。(此时教室里一片掌声。)师：这样的思考方式我们有过吗？生：在用数学语言刻画函数单调性时，我们通过“任意的两个值xl,x2,当xl四、深化函数奇偶性的认识1.判断下列函数是否为奇函数或偶函数。(1)f(x)=x2T；(2)f(x)=2x；(3)f(x)=(x-1)2o生：可以用函数图象的对称特征或函数奇偶性定义来判断函数是否具有奇偶性。(1)是偶函数；(2)是奇函数；(3)图象关于直线x=l对称，不关于y轴对称，也不关于原点对称，所以它不是奇函数也不是偶函数。生：可以用特殊值来说明，因为f(1)=0,f(-1)=4,所以(3)不是奇函数也不是偶函数

6、。2•试判断函数f(x)=x2+x(其中xe[-l,2])是否具有奇偶性。生：同上题，f(2)=6,而-2不在定义域内，所以它不是奇函数也不是偶函数。师：具有奇偶性的函数，其定义域有什么特征？生：由第2题我发现，2和-2都必须在定义域内时，才有奇偶性。所以，我认为a是定义域内任意一个值，-a也应该是定义域内一个值。具有奇偶性的函数，其定义域A关于数“0”对称。定义域关于数“0”对称是函数具有奇偶性的前提条件。师：能给出判断函数f(x)是否具有奇偶性的一般步骤吗？生：第1步，求出定义域。如果定义域不关于数“0”对称，则函数f(x)不是奇函数也不是偶函

7、数；如果定义域是关于数“0”对称的，则进行第2步；第2步，观察f(-x)与f(x)的关系，再根据函数奇偶性的定义，判断出奇偶性。3.已知函数f(x)=x2-2x-l,试判断函数f(x)的奇偶性，并画出函数的图象。生：函数f(x)的定义域为R,又f(-x)=(-x)2-2-x-l=x2-2x_l=f(x),所以函数f(x)是偶函数。先画出x>0时函数f(x)的图象，再利用图象关于y轴对称，得到x