关于紧度量空间之间同胚映射可扩性的一个注记new

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1、第30卷第4期西南师范大学学报(自然科学版)2005年8月Vol.30No.4JournalofSouthwestChinaNormalUniversity(NaturalScience)Aug.2005文章编号:10005471(2005)04060903①关于紧度量空间之间同胚映射可扩性的一个注记谷建胜苏州科技学院数学系,江苏苏州215009摘要:映射φ:XY称为覆盖映射,如果φ是k到1的开的局部同胚映射.证明了定理“对于紧度量空间之间的同胚映射f:XX及g:YY,如果存在覆盖映射φ:XY,使得gφ=φf,则f可扩蕴含g

2、可扩”中的映射φ所含条件“k到1”可以省略.关键词:紧度量空间;可扩性;同胚映射;覆盖映射中图分类号:O18911文献标识码:A紧度量空间之间同胚映射的可扩性是拓扑动力系统的主要内容之一.文献[1]对于紧度量空间之间的同胚映射f:XX,g:YY,证明了下述定理.定理A设f:XX和g:YY是紧度量空间之间的同胚映射.如果存在开、局部同胚映射φ:XY,且φf=gφ,则g可扩蕴涵f可扩.作为上述结果的一个逆,很自然地,人们会问:在同样的条件下,f可扩是否蕴含g可扩?文献[2]得到了下述结果.定理B设f:XX和g:YY是紧度量空间之

3、间的同胚映射,φ:XY为覆盖映射,且φf=gφ.如果f是可扩的,则g是可扩的.对于文献[2]的这一结果,一个很有意义的问题就是,这里的覆盖映射φ所含的条件“k到1”能否省略.本文对这一问题给出了肯定回答,证明了定理B中覆盖映射φ所含的条件“k到1”可以省略,从而对于紧度量空间之间的同胚映射f:XX,g:YY,如果存在开的局部同胚映射φ:XY,且φf=gφ,则f可扩当且仅当g可扩.在本文中,空间均为紧度量空间,映射均指连续满映射.设A为度量空间(X,d)的子集,φ:XY为映射,则d(A)表示A的直径,φ

4、A表示φ在A上的限制,

5、φ

6、A:Aφ(A).Z表示整数集.其它未给出定义的记号和术语,均见文献[3].定义1映射f:XX称为可扩的,如果存在常数c>0,对任意的x≠y,x,y∈X,存在n∈Z,nn使得d(f(x),f(y))>c.其中c称为f的可扩常数.定义2映射φ:XY称为局部同胚的,如果对每一x∈X,存在x的一个邻域Ux,使得φ

7、U:Uxxφ(Ux)是同胚;称为开映射,如果对于X的每一开集U,φ(U)是Y的开集;称为k到1映射,如果对-1每一y∈Y,f(y)为X中k个点组成;称为覆盖映射,如果φ是k到1的开的局部同胚映射.注意到紧度量空间之间的

8、连续映射将闭集映成闭集,由文献[4]的定理11518或文献[5]的定理114113,可得下述引理.-1-1引理1若映射φ:XY,则对每一y∈Y及X中开集U=φ(y),存在X中开集V,使得φ(y)-1

9、,φ:XY为开的局部同胚映射,α为任一正数,则对于每一y∈Y,存在y的开邻域Vy及X中有限个开集Uy,1,Uy,2,⋯,Uy,k,满足下述条件yky-1(1)φ(Vy)=∪Uy,i;i=1-1(2)对每一y∈Y及i=1,2,⋯,ky,φ限制在Uy,i,f(Uy,i)及f(Uy,i)上是同胚映射;(3)对每一y∈Y及i=1,2,⋯,ky,φ(Uy,i)=Vy,从而φ

10、U:Uy,iVy是同胚映射;y,i-1(4)对每一y∈Y及i=1,2,⋯,ky,d(Uy,i),d(f(Uy,i)),d(f(Uy,i))均小于α.-1证对每一x

11、∈X,令x1=f(x),x2=f(x).因为φ是局部同胚的,所以分别存在x,x1,x2的开邻域U0,U1,U2,使得对每一i=0,1,2,φ

12、U:Uiφ(Ui)是同胚映射.不妨假设每一d(Ui)<α.置Wxi-1=U0∩f(U1)∩f(U2),则Wx是x的开邻域,且φ

13、W,φ

14、f(W),φ

15、f-1(W)是同胚映射.xxx-1-1-1对每一y∈Y及每一x∈φ(y),令Wx为如上所构造.由φ(y)的紧性,存在φ(y)的有限子集{xi:-1i=1,2,⋯,ky}.使得{Wx:i=1,2,⋯,ky}覆盖φ(y).不妨将这有限覆盖记为

16、{Wy,i:i=1,2,⋯,ky}.iky-1-1由引理1,存在X中开集Gy,满足φ(y)