14 度量空间的列紧性与紧性

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1、第一章度量空间1.4度量空间的列紧性与紧性1.4.1度量空间的紧性Compactness在微积分中，闭区间上的连续函数具有最大值、最小值、一致连续等，这些性质的成立基于一个重要的事实：的紧性，即有界数列必有收敛子列．但这一事实在度量空间中却未必成立．例1.4.1设，对于，定义，令，那么是有界的发散点列．证明由于所以为有界点列．对于任意的，有因此不是基本列，当然不是收敛列．□定义1.4.1列紧集、紧集与紧空间Sequentiallycompactset,Compactset,Compactspace设是度量空间，．(1)如果中任

2、何点列都有收敛于的子列，则称为列紧集(或致密集、或相对紧集)；(2)如果是列紧集，也是闭集，则称为紧集；(3)如果本身是列紧集(必是闭集)，则称为紧空间．注1：若是的列紧集，且，那么？若是的紧集，？．定理1.4.1设是度量空间，下列各命题成立：(1)的任何有限集必是紧集；(2)列紧集的子集是列紧集；5第一章度量空间(3)列紧集必是有界集，反之不真．证明(1)、(2)易证．下面仅证(3)．假设是列紧集，但无界．取固定，则存在，使得．对于，必存在，使得、．由于是无界集，可依此类推得到的点列满足：只要，就有．显然点列无收敛子列，从而

3、不是列紧集导致矛盾，故是有界集．反过来，是有界集，未必列紧．反例：空间上的闭球有界，而不是列紧集(见例1.1)．□注2：中的开区间是列紧集，却不是紧集．(由于中的有界数列必有收敛子列，所以中的数列必有收敛子列，但不是闭集，故列紧不紧．)注3：自然数不是列紧集．(无界)推论1.4.1(1)紧空间是有界空间；(2)紧空间是完备空间．证明(1)若为紧空间，那么本身为列紧集，而列紧集有界，故为有界空间．(2)若为紧空间，即它的任何点列有收敛子列，从而知中的基本列有收敛子列，根据基本列的性质(若基本列含有收敛子列，则该基本列收敛，且收敛

4、到子列的极限)，可得中的基本列收敛，因此为完备的空间．□关于维殴氏空间中的列紧集、紧集的特性有如下定理．定理1.4.2设，是维殴氏空间，那么(1)是列紧集当且仅当是有界集；(2)是紧集当且仅当是有界闭集．证明(1)必要性显然成立；利用闭球套定理可以证明：如果是有界的无限集，则具有极限点，从而可证充分性．(2)由(1)易得．□注4：由于中的非空紧集就是有界闭集，定义上的连续函数具有最大与最小值，这一事实在度量(距离)空间中依然成立．首先说明连续映射将紧集映射为紧集．引理1.4.1设是从度量空间到上的连续映射(称为算子)，是中的紧

5、集，那么是中的紧集．证明设，首先证明是中的列紧集．，，使得，．由于是紧集，所以点列存在收敛的子列，且，又知是上的连续映射，于是．即有收敛于的子列，因此为中的列紧集．再证是闭集．设，，根据的紧性和连续映射可得，对应的点列()存在收敛的子列，．从而，即是闭集．□5第一章度量空间定理1.4.3最值定理设是度量空间中的紧集，是定义在上的实值连续函数(泛函)，即，那么在上取得最大值与最小值．证明设，由上述引理知是中的紧集．所以是中的有界集，于是上、下确界存在，设，．下证是在上取得的最大值，同理可证是在上取得的最小值．由确界性的定义知，，

6、，使得，即可得．再由为紧集知存在，使得(),于是令，有，因此是在上取得的最大值．□1.4.2度量空间中的全有界性刻画列紧性的重要概念之一是全有界性，通过以下的讨论可知：(1)度量空间中的列紧集必是全有界集；(2)在完备度量空间中，列紧集和全有界集二者等价．定义1.4.2网设是度量空间，，给定．如果对于中任何点，必存在中点，使得，则称是的一个网．即图4.1是的一个网示意图例如：全体整数集是全体有理数的0.6网；平面上坐标为整数的点集是的0.8网．图4.2整数集是全体有理数的0.6网示意图定义1.4.3全有界集5第一章度量空间设是

7、度量空间，，如果对于任给的，总存在有限的网,则称是中的全有界集．注5：根据定义可知是中的全有界集等价于，,使得，其中表示以中心，以为半径的开邻域．引理1.4.2是度量空间的全有界集当且仅当，,使得．证明当是全有界集时，，,使得．不妨设有，选取，显然以及，因此．□注6：在中，不难证明全有界集与有界集等价，那么在一般的度量空间中这样的结论成立吗？还是只在完备的度量空间中成立？下面给出有界集和全有界集的关系．定理1.4.4全有界集的特性设是度量空间，，若是全有界集，则(1)是有界集；(2)是可分集．证明(1)设是全有界集，取，由定义

8、知，及,使得．现令，则易知，可见是有界集．(2)设是全有界集，下证有可列的稠密子集．由引理1.4.2知对于()，存在，使得，下面证明是的稠密子集．，，存在，使得，由于是的网，故，使，从而，，即在中稠密，显然是可列集，故可分．□注7：由上述定理知全有界集一定是有界集，然而有界集