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1、精品题库试题理数1.(2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若
2、F1A
3、=2
4、F2A
5、,则cos∠AF2F1=( )A. B. C. D. [答案]1.A[解析]1.由题意得解得
6、F2A
7、=2a,
8、F1A
9、=4a,又由已知可得=2,所以c=2a,即
10、F1F2
11、=4a,∴cos∠AF2F1===.故选A.2.(2014重庆,8,5分)设F1、F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得
12、PF1
13、+
14、PF2
15、=3b,
16、PF1
17、·
18、PF2
19、=ab,则该双曲线
20、的离心率为( )A. B. C. D.3 [答案]2.B[解析]2.设
21、PF1
22、=m,
23、PF2
24、=n,依题意不妨设m>n>0,于是∴m·n=··⇒m=3n.∴a=n,b=n⇒c=n,∴e=,选B.3.(2014广东,4,5分)若实数k满足00,25-k>0.∴-=1与-=1均表示双曲线,又25+(9-k)=34-k=(25-k)+9,∴它们的焦距相等,故选A.4.
25、(2014湖北,9,5分)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A. B. C.3 D.2 [答案]4.A[解析]4.解法一:设椭圆方程为+=1(a1>b1>0),离心率为e1,双曲线的方程为-=1(a2>0,b2>0),离心率为e2,它们的焦距为2c,不妨设P为两曲线在第一象限的交点,F1,F2分别为左,右焦点,则易知解得在△F1PF2中,由余弦定理得(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)·(a1-a2)cos60°=4c2
26、,整理得+3=4c2,所以+=4,即+=4.设a=,b=,∴+=a·b≤
27、a
28、·
29、b
30、=×=×=,故+的最大值是,故选A.解法二:不妨设P在第一象限,
31、PF1
32、=m,
33、PF2
34、=n.在△PF1F2中,由余弦定理得m2+n2-mn=4c2.设椭圆的长轴长为2a1,离心率为e1,双曲线的实轴长为2a2,离心率为e2,它们的焦距为2c,则+===.∴===,易知-+1的最小值为.故=.故选A.5.(2014山东,10,5分)已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为( )A
35、.x±y=0B.x±y=0C.x±2y=0D.2x±y=0[答案]5.A[解析]5.设椭圆C1和双曲线C2的离心率分别为e1和e2,则e1=,e2=.因为e1·e2=,所以=,即=,∴=.故双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,即x±y=0.6.(2014天津,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( )A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1[答案]6.A[解析]6.由题意得=2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,则
36、a2=5,b2=20,从而双曲线方程为-=1.7.(2014课表全国Ⅰ，4，5分)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为( )A. B.3C.m D.3m[答案]7.A[解析]7.由题意知,双曲线的标准方程为-=1,其中a2=3m,b2=3,故c==,不妨设F为双曲线的右焦点,故F(,0).其中一条渐近线的方程为y=x,即x-y=0,由点到直线的距离公式可得d==,故选A.8.(2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，8)已知双曲线,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准
37、线的距离之比等于( )A. B. C.2 D.4[答案]8. C[解析]8. 双曲线的方程为，由此可得双曲线的离心率.双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比即为该双曲线的离心率，故所求值为2.9.(2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，12)已知双曲线，过其左焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，若双曲线的右顶点在以为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A． B． C． D．[答案]9. A[解析]9. 令.由双曲线的性质可得，也即以为直径的圆的半径为，
38、而右顶点与左焦点的距离为a+c，由题意可知，整理得，两边同除，，解得或，又因为双曲线的离心率大于1，可得.10.(2014山西太原高三模拟考试（一），9)设P在双曲线上，F1，F2是该双曲线的
