工程数学(复变函数 积分变换 场论)

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1、第八章第八章场论场论第一节矢性函数及其微分第二节数量场第三节矢量场第四节几种特殊的矢量场第一节矢性函数的微积分第一节矢量函数及其微积分第八章一矢性函数的概念二矢端曲线场论三矢性函数的微积分四导矢的几何意义五矢性函数的微分吴新民-2-第一节矢性函数的微积分一矢性函数的概念给定一个变量，如果它没有方向，则称其为数性变量，如果它有方向，则称其为矢性变量。第八章定义1设有数性变量t,变矢A,如果对于t在某个范围G内的每一个数值，A都以唯一的一个确定的矢场论量和它对应，则称A为数性变量t的矢性函数，记作AA(t)在空间直角坐标系下，矢性函数A(t)的三个坐标Ax

2、(t)、Ay(t)、Az(t)显然是t的函数.因此矢性函数A(t)的坐标表示式为AA()itA(t)jA(t)k(8.1.1)xyz吴新民-3-第一节矢性函数的微积分二矢端曲线给定一个矢性函数A(t),如果将起点都放在坐标原点，则终点就描绘出一条曲线,z第八章称此曲线为矢性函数A(t)的矢M(,,)xyz端曲线.而称(8.1.1)式为此曲At()线的方程.场论oy取起点为坐标原点O，终点x为点M(,,)xyz的矢量OM称为点M的矢径，记为r.则rOMxiyjzk对矢性函数A(t)的矢端曲线上任意一点M(x,y

3、,z),吴新民-4-第一节矢性函数的微积分矢量A(t)实际上为点M的向径，因此rA(t)xAt()x(8.1.2)第八章即yAty()zAt()z这就是矢性函数A(t)的矢端曲线的参数方程.场论例如矢性函数A(t)Acositasinjtbtk对应的参数方程为xacost,yasint,zbt吴新民-5-第一节矢性函数的微积分再如给定参数方程33xacost,yasint对应的矢性函数为第八章33Aacositbsinjt因此研究一个矢性函数场论AA(t)iA(t)jA(t)kxyz等价于研究三个

4、有序的数性函数xAtx(),yAty(),zAt().z吴新民-6-第一节矢性函数的微积分三矢性函数的微积分设起点O的矢性函数A(),t当数性变量在其定义域内从t变到ttt(0)时，对应的矢量分别为第八章A()tOM,A()ttONM则A()(ttAt)MN称为A场论At()N矢性函数A()t的增量，记作A,At()tO定义2设矢性函数A(t)在点t的某个邻域内有定义，并设tt在这个邻域内，如果A(t)对应于t的增量A与t的比在t0时的极吴新民-7-第一节矢性函数

5、的微积分限存在，则称此极限为矢性MAt()函数A(t)在点t处的导数AAAt()NdAt(简称导矢),记为或A(t),dtAt()t第八章即OdAAA(tt)A(t)limlim(8.1.3)场论dtt0tt0t设A()tAtiAtjAtkxyz()()(),由于dAAAxAyAzlimlimilimjlimkdtt0tt0tt0tt0t所以A(t)A()itA(t)jA(t)k(8.1.4)xyz吴新民-8-第一节矢性

6、函数的微积分由于矢性函数的导数的运算完全由三个数性函数确定，我们可以证明矢性函数仍有类似数性函数的求导公式.设矢性函数AA(t)、BB(t)及数性函数uu(t)第八章在t某个范围内可导，C为常矢量，k为常数，则在该范围内有：场论dC(1)0dtddAdB(2)(AB)dtdtdtddA(3)(kA)kdtdt吴新民-9-第一节矢性函数的微积分ddudA(4)(uA)AudtdtdtddAdB(5)(AB)BA第八章dtdtdtd2dA2特别A2A（这里AAA)dtdt场论

7、ddAdB(6)(AB)BAdtdtdt(7)如果AA(u),uu(t)dAdAdudtdudt吴新民-10-第一节矢性函数的微积分类似我们可以定义矢性函数的不定积分，定积分,并且矢性函数的不定积分，定积分可以转化成三个数性函数来计算.定义3如果在t的某个区间I上，有B(t)A(t),则称第八章矢性函数B(t)为矢性函数A(t)在区间I上一个原函数。区间I上A(t)的原函数的全体称为A(t)的不定积分，记场论为A().tdt如果B(t)是A(t)在区间I上的一个原函数，则A(t)dtB(t)C(